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Médiane et quartiles - cours
Notion de médiane et quartiles en statistiques.
I. Exemple où l'effectif total est impair
On a interrogé 21 élèves en leur demandant leur pointure.
On a trié les résultats dans le tableau suivant :
| pointure | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 |
| effectif | 1 | 5 | 10 | 3 | 2 |
On considère la série des pointures du groupe d'élèves interrogés.
Recherche de la médiane
On sépare les 21 pointures en trois groupes :
le groupe des dix pointures les plus petites, le groupe des 10 valeurs les plus grandes et la valeur centrale que l'on appelle la médiane.
- le groupe des dix pointures les plus petites contient: 35, 36, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38 et 38
- le groupe des dix valeurs les plus grandes contient: 40, 40, 39, 39, 39, 38, 38, 38, 38 et 38
- la valeur centrale est donc 38
La médiane est 38.
Recherche des quartiles
Le premier quartile est la plus petite valeur v de la série vérifiant la proposition 'au moins 25% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à v'
Le troisième quartile est la plus petite valeur V de la série vérifiant la proposition 'au moins 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à V'
Les quartiles séparent donc la série en quatre groupes d'effectifs à peu près identiques ( identiques à 1 près) et ,
- le premier groupe contient au moins 25% des pointures
- le premier et deuxième groupe réunis contiennent au moins 50% des pointures
- les trois premiers groupes réunis contiennent au moins 75% des pointures
L'effectif total est N=21
25%, c'est un quart. En divisant en 4, on obtient N/4 = 5.25
- le premier groupe doit contenir les 6 valeurs les plus petites (5 ce n'est pas assez car 5 < N/4)
le premier groupe contient donc 35, 36, 36, 36, 36, 36. Au moins 25% des valeurs sont inférieures ou égales à 36,
donc 36 est le premier quartile.
75% c'est trois quarts et 3N/4 = 15.75
- les trois premiers groupes réunis doivent contenir 16 valeurs c'est-à-dire les valeurs 35, 36, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38 , 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38
Au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à 38,
donc 38 est le troisième quartile.
On peut utiliser un tableau et cumuler les effectifs pour chercher la médiane et les quartiles
| pointures | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 |
| effectif | 1 | 5 | 10 | 3 | 2 |
| effectif cumulé | 1 | 6 | 16 | 19 | 21 |
N=21; la moitié est N/2=10.5; la médiane est la 11e valeur. Dans la ligne des effectifs cumulés, on lit 6 et 16 ce qui signifie que 6 valeurs sont inférieures ou égales à 36 et que les 10 valeurs suivantes sont égales à 38. La onzième valeur est donc 38
La médiane est 38.
N=21 et N/4=5.25; l'entier suivant est 6 donc le premier quartile est la 6ème valeur , soit 36
Le premier quartile est 36.
N=21 et 3N/4=15.75; l'entier suivant est 16 donc le troisième quartile est la 16ème valeur , soit 38
Le troisième quartile est 38.
II. Exemple où l'effectif total est pair :
On a interrogé 20 élèves en leur demandant leur pointure.
On a trié les résultats dans le tableau suivant :
| pointure | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 |
| effectif | 1 | 5 | 4 | 7 | 3 |
on considère la série des pointures du groupe d'élèves interrogés
Recherche de la médiane
On sépare les 20 pointures en trois groupes :
le groupe des dix pointures les plus petites, et le groupe des 10 valeurs les plus grandes.
La médiane est alors une valeur comprise entre la plus grande des plus petites valeurs et la plus petite des plus grandes valeurs; par habitude, on choisit la moyenne entre les deux valeurs
- le groupe des dix pointures les plus petites contient: 35, 36, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38 et 38
- le groupe des dix valeurs les plus grandes contient: 40, 40, 40, 39, 39, 39, 39, 39, 39 et 39
- la médiane est une valeur comprise entre 38 et 39.
La médiane est 38.5.
Recherche des quartiles
La méthode est identique au cas précédent.
On peut utiliser un tableau et cumuler les effectifs pour chercher la médiane et les quartiles.
| pointures | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 |
| effectif | 1 | 5 | 4 | 7 | 3 |
| effectif cumulé | 1 | 6 | 10 | 17 | 20 |
N=20; la moitié est N/2=10; la médiane est une valeur comprise entre la 10e et la 11e valeur soit comprise entre 38 et 39.
La médiane est 38.5
N=20 et N/4=5 ; donc le premier quartile est la 5e valeur, soit 36
N=20 et 3N/4=15 ; donc le troisième quartile est la 15e valeur, soit 39
Le premier quartile est 36 et le troisième est 39.
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