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Dérivabilité
La dérivabilité
Définitions :
Soit f une fonction numérique à variable réelle. Df est son domaine de définition.
I un intervalle ouvert inclus dans Df et x0 un point de I.
f est dérivable en x0 si et seulement si existe dans R.
On note f'(x0) cette limite et on l'appelle le nombre dérivé de f en x0.
Le rapport dit taux d'accroissement (ou de variation) de f au voisinage de x0 est le coefficient directeur de la droite passant par M(x0;f(x0)) et M'(x0+h;f(x0+h)).
Si f est dérivable en x0, en faisant tendre h vers 0 la droite (MM') devient tangente à Cf (la courbe représentative def).
On montre que l'équation cartésienne de la tangente à Cf au point M(x0;f(x0)) est :
y=f'(x0)*(x-x0)+f(x0) .
Exemple :
La fonction f : x -------------> x² est dérivable en tout point A de son domaine de définition R.
La tangente T à Cf au point A(a;a²) a pour équation : y=2a(x-a)+a² c'est-à-dire y=2ax-a².
Cette droite est en dessous de Cf
en effet on pose g(x)=2ax-a² et on cherche le signe de f(x)-g(x)
f(x)-g(x)=x²-2ax+a²=(x-a)² est un carré; ce nombre est donc positif ou nul. Donc f(x) est supérieur ou égal à g(x). Et ceci pour tout x
Si a=2 , la tangente T aura pour équation : y=4x-4.
Si f est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.
La fonction qui à tout élément x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée la fonction dérivée de f sur I et est notée f'.
Propriétés :
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant x et a un nombre réel.
1) a*f est dérivable en tout x de I et (a*f)'(x)=a*[f'(x)].
2) f+g est dérivable en tout x de I et (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x).
3) f*g est dérivable en tout x de I et (f*g)'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x).
4) Si pour x dans I, g(x) non nul alors f/g est dérivable en x et
(f/g)'(x)=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/(g(x))².
Avancé 
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