Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°48843 : Logarithmes - cours

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Logarithmes - cours

I. Historique
(pour comprendre les propriétés algébriques des logarithmes)

Avant l'invention des calculateurs (ordinateurs, calculatrices, ...) les mathématiciens ont cherché à simplifier les calculs à effectuer

1) Durant l'Antiquité (IIIe siècle avant J.-C.), Archimède avait remarqué que pour multiplier certains nombres, il suffisait de savoir additionner! et qu'il était plus facile d'effectuer des additions plutôt que des multiplications!

Exemple utilisant les puissances de 2 (avec des notations modernes)

exposant n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
nombre $2^n$	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Ainsi pour multiplier 16 par 64, on ajoute 4 et 6, on obtient 10 et on cherche dans le tableau le nombre $2^n$ correspondant à n=10, on obtient 1 024

On conclut : 16*64=1 024 car $16 times 64=2^4 times 2^6=2^{10}=1024$

pour multiplier 16 par 64, on a ajouté les exposants 4 et 6!

L'exposant n de $X=2^n$ est appelé logarithme à base 2 de X

$X=2^n$ équivaut à $n= log_2 (X)$

Ainsi par exemple, $log_2 (1)=log_2 (2^0)=0$ , $log_2 (16)= log_2 (2^4)=4$ , $log_2 (64)= log_2 (2^6)=6$ , et $log_2 (16 times 64)= log_2 (2^4 times 2^6)=log_2 (2^{10})=10= log_2 (16)+ log_2 (64)$ , ...

2) John Napier (ou Neper), baron écossais (1550-1617), a repris et étendu l'idée d'Archimède et a mis au point une méthode générale qui permet d'effectuer

-des additions à la place de multiplications

-des soustractions à la place de divisions

-des divisions par 2 à la place d'extractions de racines carrées

etc.

Neper, avec son ami anglais Henry Briggs, a construit les premières tables de logarithmes décimaux à 8 décimales

Si X est égal à une puissance de 10, $X=10^Y$ , alors l'exposant Y de 10 est appelé logarithme décimal Y du nombre X

Ainsi par exemple, $log(100)=log(10^{2})=2$ , $log(1)= log(10^0)=0$ et $log(0.001)= log(10^{-3})=-3$

exemple : ici, on utilise les puissances de 10

$log(100) + log(0.001)=2-3=-1$ et $10^{2} times 10^{-3} =10^{-1}$ : le logarithme du produit est bien la somme des logarithmes.

On peut définir le logarithme à base a, où a est un nombre strictement supérieur à 1:

si $X=a^Y$ , alors $Y= log_a (X)$ = logarithme à base a de X

Dans ce cas, on utilise les puissances de a.

D'après les règles sur les exposants, pour multiplier deux puissances de a, on ajoute les exposants: $a^x times a^y = a^{x+y}$ , l'exposant de a (ou le logarithme) du produit est bien égal à la somme des exposants (ou des logarithmes)

II. Le logarithme népérien

1° Aires sous l'hyperbole

Ci-dessus la courbe de la fonction inverse sur l'intervalle ]0; +∞[; il existe un nombre noté e tel que l'AIRE de la partie située entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites 'verticales' passant par I(1;0) et A(e;0), SOIT ÉGALE à 1, l'unité d'aire étant celle du rectangle de côté 1 dans le repère choisi

A(e;0), B(e²;0) et C(e³;0)

Les aires des trois parties, celle où x varie entre 1 et e, celle où x varie entre e et e² et celle où x varie entre e² et $e^{3}$ , sont toutes les trois égales à 1

2° Le logarithme népérien

Le logarithme népérien est le logarithme de base e, où e est le nombre irrationnel défini ci-dessus dont une valeur approchée est 2,71828; notation: $log_e= ln$

ainsi, $ln(e)= ln(e^1)=1$ , $ln(1)= ln(e^0)=0$ et $ln (e^x) =x$ pour tout x réel.

Des tables de logarithmes ont alors été utilisées pour effectuer plus facilement des multiplications, des divisions etc. jusqu'au début des années 1980!

Pour calculer un produit $A times B$ , dans la table de logarithmes népériens, les ingénieurs, les élèves, etc. cherchaient $ln A$ et $ln B$ qu'ils additionnaient pour obtenir le résultat D, puis ils cherchaient C tel que $ln C=D$ et pouvaient conclure AB=C

Aujourd'hui, les tables de logarithmes et les règles à calcul ont été remplacées par les calculatrices; pourtant les logarithmes sont toujours «sur le devant de la scène mathématique» (algorithmes de compression de données, etc. )

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Attention ln(X) existe si et seulement si X>0
Valeurs à connaître: $\ln (1)=0$ , $\ln (e)=1$ et $\ln (e^n)=n$
propriétés algébriques: Pour tous X>0, Y>0 et y réel, on a
$\ln (X)+ \ln (Y)= \ln (XY)$
$\ln (X)- \ln (Y)= \ln (\frac X Y)$
$- \ln (Y)= \ln (\frac 1 Y)$
$\ln (\sqrt X)= \frac 1 2 \times \ln (X)$
$\ln (X^y)= y \times \ln (X)$

1° $\ln(a)+\ln(2)$ =
2° Exprimer en fonction de $\ln(3)$ les nombres suivants :
a) $\ln(81)$ =
b) $\ln(3 e^5)$ =

3° Exprimer sous forme $\ln(a)$ , où a est un nombre à déterminer, les nombres suivants :
a) $2 \ln(5)+3 \ln(2)$ =
b) $-3 \ln(5)$ =

4° Pour résoudre une équation (E) comportant des logarithmes, on peut utiliser l'implication:

'Si $\ln A = \ln B$ , alors A=B'

il reste alors à résoudre l'équation obtenue et pour finir, étudier la réciproque, c'est-à-dire regarder si chacune des solutions obtenues est ou n'est pas solution de (E).

Si x est solution de $\ln(x^{2})+\ln(x+2)= \ln(x(x+1))$
alors x est solution de
alors x est solution de
alors x est solution de
alors $x=0$ ou $x= \frac{-1- \sqrt{5} } {2}$ ou $x= \frac{-1+ \sqrt{5} } {2}$
L'équation $\ln(x^{2})+\ln(x+2)=\ln(x(x+1))$ admet solution(s)

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