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Valeur absolue (niveau Terminale ou plus) - cours

On appelle valeur absolue d'un nombre réel x (noté |x| le nombre réel qui satisfait aux conditions suivantes :

|x|=x si x ≥0

|x|=-x si x < 0.

Exemples :

|0|=0, |1|=1, |-2|=2.

|x|=3 (x=3 ou x=-3).

Alors pour tout x on a x≤|x|.

Voyons quelques propriétés de la valeur absolue

Soit x, y: nombres réels;

|x+y|≤|x|+|y|

Démonstration: soit x+y ≥ 0, alors

|x+y|=x+y≤ |x|+|y| (car x ≤ |x| et y ≤ |y|)

Soit x+y < 0, alors

|x+y|=-(x+y)= (-x)+ (-y) ≤ |x|+|y|

C.Q.F.D.

EXEMPLE :

|-1+4|<|-1|+|4|

|-1|+|4|=5.

3<5.

|x-y| ≥ |x|-|y|,(si |x|>|y|).

Démonstration posons x-y=z alors

X=y+z, et d’après la propriété précédente :

|x|=|y+z| ≤ |y|+|z|= |y|+|x-y|,

Donc : |x|-|y| ≤ |x-y|

|x*y*z|=|x|*|y|*|z|

|x/y|=|x |/|y|(|y|≠0)

Exercice :

Soit les nombres réels x = - 2, y = 8 et z = - 6 ; calculer:

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|x|+|y| =

|x|-|y| =

|x+y|-|x| =

|z/x| =

|xyz| =

(|x||y||z|)/|xyz| =

|y|/x =

|x+y+z| =

|yz|/x =

|x-y-z| =

---

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