Trigonométrie : choix de la fonction trigonométrique

Bonjour,

Le test ci-après s'adresse aux étudiants de 3e qui souhaitent évaluer leurs connaissances sur la trigonométrie. Il a pour but  de vérifier votre capacité à identifier la bonne fonction trigonométrique à utiliser en fonction des hypothèses (ce qu'on connaît) et de ce qu'on cherche (l'inconnue). Pour cela, il faudra dessiner le triangle rectangle à main levée en notant les hypothèses sur la figure et en notant ? sur la mesure demandée.

Résumé du cours :

Comme vous le savez, il y a 3 formules à connaître :

sin (angle) = (côté opposé à l'angle) divisé par (hypoténuse).

cos (angle) = (côté adjacent à l'angle) divisé par (hypoténuse).

tan(angle) = (côté opposé à l'angle) divisé par (côté adjacent à l'angle).

et il faut savoir se repérer par rapport à un angle aigu pour distinguer côté adjacent et côté opposé à l'angle :

Pour l'hypoténuse, quel que soit l'angle aigu considéré, c'est toujours le côté opposé à l'angle droit, et le plus grand côté.

Le côté adjacent comporte toujours la lettre correspondant au sommet de l'angle et la lettre du sommet de l'angle droit.

Le côté opposé est le seul côté qui ne comporte pas la lettre du sommet de l'angle aigu considéré.

Une fois cela acquis, savoir comment utiliser ces formules est le plus important.

On a 3 types de problématiques selon ce qu'on connaît du triangle et ce qu'on y cherche :

On connaît un des angles aigus et un côté, on cherche un des 2 autres côtés.

=> On utilise la fonction trigonométrique dans laquelle apparaissent le côté connu et le côté cherché.

   Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en A, on connaît AB = 3 cm et l'angle correspondant au sommet B  = 60°. 

   AB comporte la lettre du sommet de l'angle droit : A et la lettre du sommet de l'angle connu : B : il s'agit du côté adjacent.

   On cherche BC. BC ne comporte pas la lettre A, sommet de l'angle droit => BC est l'hypoténuse.

   C'est donc le cosinus qu'on va utiliser : cos (angle de sommet B) = côté adjacent / hypoténuse

On cherche l'hypoténuse. Avec les produits en croix, on en déduit :

 hypoténuse = côté adjacent / cos (angle de sommet B) = 3 cm / cos (60°) = 3 /0.5 = 6

On utilise le théorème de Pythagore : c'est le seul cas où les angles n'interviennent pas.

On peut tout de même calculer un des angles aigus par une fonction inverse puis déduire le côté cherché par une autre fonction, mais c'est plus compliqué et il y a 2 étapes.

Théorème de Pythagore (rappel) : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On part donc de cette égalité et on isole l'inconnue si besoin.

                     Exemple : Dans un triangle EDF rectangle en D, on connaît EF = 15 et DF = 12. On cherche DE.

EDF est un triangle rectangle, on en déduit l'égalité : EF² = DF² + DE² (Pythagore)

On retranche DF² de chaque côté de l'égalité et on obtient :

EF² – DF² = DF² +DE² – DF² : on permute les membres de l'égalité on résout :

DE² = EF² – DF² =15² – 12² = 81 On en déduit DE = 9 cm 

On connaît 2 côtés et on cherche un angle aigu :

On utilise l'inverse de la fonction trigonométrique dans laquelle apparaissent les 2 côtés connus.
On utilise pour le calcul la calculatrice en tapant la touche SECOND en premier, la fonction trigonométrique, puis le rapport correspondant :

Exemple : Dans un triangle TRI rectangle en R, on connaît IT = 8 et IR = 4.

On cherche l'angle de sommet T.   IR est le côté opposé au sommet T et IT l'hypoténuse (côté opposé au sommet R). On utilise donc le sinus.

Avec la calculatrice : (SECOND)  sin  4 ÷ 8 ) EXE = 30°