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Triangles - cours
Le triangle vient du mot latin triangulus composé du préfixe tri qui signifie trois et angulus qui signifie angle. Donc un triangle est un polygone composé de trois angles.
En d'autres termes : Un triangle est une figure géométrique plane, formée par trois points non alignés appelés sommets, reliés par des segments appelés côtés du triangle.
Tout triangle possède trois sommets, trois côtés et trois angles.
On nomme un triangle par 3 lettres en majuscule qui correspondent à ses trois sommets comme le triangle ci-dessous :
On nomme ce triangle, triangle ABC
- A, B et C représentent les trois sommets du triangle.
- [AB], [AC] et [BC] représentent les trois côtés du triangle.
- 
représentent les trois angles du triangle.
Chaque angle d'un triangle est opposé à un côté de ce triangle.
Dans n'importe quel triangle, le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand. De même, le côté le plus court est opposé à l'angle le plus petit.
Angle intérieur d'un triangle
Un angle intérieur d'un triangle est un angle formé par deux côtés issus d'un même sommet.
Angle extérieur
Un angle extérieur est un angle formé par un côté quelconque de ce triangle et le prolongement du côté adjacent.
La somme des mesures des angles d'un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Démonstration
Soit (xy) une droite passant par le sommet A et parallèle au côté (EI) d'un triangle AEI.
Suivant cette figure :
xÂE + EÂI + yÂI = xÂy
Les droites (xy) et (EI) sont deux droites parallèles coupées par les droites sécantes (AE) et (AI)
Les angles xÂE et AÊI sont situés de part et d'autre de la droite sécante (AE) à l'intérieur des droites parallèles (xy) et (EI). Ils sont dits alternes-internes et ont même mesure.
Donc xÂE = AÊI = Ê
De même les angles yÂI et AÎE sont situés de part et d'autre de la droite sécante (AI) à l'intérieur des droites parallèles (xy) et (EI). Ils sont dits alternes-internes et ont même mesure.
Donc yÂI = AÎE = Î
En remplaçant xÂE par Ê, EÂI par  et yÂI par Î, la relation devient :
 + Ê + Î = xÂy
Or xÂy est un angle plat. Il mesure 180°.
Donc  + Ê + Î = 180°.
Triangle et milieux des côtés
Propriété 1
La droite parallèle à un côté d'un triangle et passant par le milieu d'un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Réciproque
La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Propriété 2
Le segment qui joint les milieux des deux côtés d'un triangle a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.
Dans la figure ci-dessus : IJ = BC / 2
Exercice
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