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Théorème de Pythagore : Démonstration et Applications - cours

Ce théorème est très connu et est présenté dans ce cours d'une manière différente.

On traite en première partie la démonstration de ce théorème.

Puis des applications et exemples nécessaires.

Enfin des exercices de difficulté croissante.

Donc à vous de choisir la ou les parties qui vous intéressent.

Bon Courage.

1.Démonstration du théorème de Pythagore

L'énoncé du théorème est :

Dans un triangle rectangle (un triangle avec un angle droit), le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

 Donc si ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC²

Démontrons ce théorème :

Pour ainsi faire, deux principes sont possibles. Le principe du trapèze et le principe du carré.

Le principe du trapèze

On considère un triangle rectangle de côtés a, b et l'hypoténuse c (Celui en bleu en bas dans la figure ci-dessous).

Puis on fait déplacer ce triangle pour prendre la position du triangle en bleu en haut tout en s'assurant que les deux côtés de dimension c sont perpendiculaires.

Ensuite, on trace la ligne rouge et un nouveau triangle rectangle se produit (celui en blanc)

Le tout (les 3 triangles) forme un trapèze.

On doit montrer que a²+ b² = c² .

Pour cela, on fait un calcul des aires.

C'est bien évident que : Aire du trapèze = (Aire des 3 triangles)=2 x Aire du T. bleu + Aire du T. blanc

Rappel sur le calcul de ces aires :

Aire du trapèze = (a+b)x(a+b)/2

                         =a²/2+ b²/2+ab

Aire du T. bleu = ab/2

Aire du T. blanc = c²/2

L'égalité des aires donnera : a²/2+ b²/2+ab = 2 x ab/2 + c²/2

On aura enfin après simplification a²+ b² = c² 

Ainsi le théorème de Pythagore est bien démontré.

Le principe du carré

Il s'agit dans ce cas de travailler avec 4 triangles de mêmes dimensions.

Si les deux triangles (les bleus) ont donné une forme du trapèze donc 4 triangles donneront un carré.

Ces figures illustrent clairement ce principe.

   ----->   -----> 

On trace les deux lignes vertes pour visualiser de nouvelles figures.

(Remarque : Ces deux lignes peuvent être tracées de plusieurs

coins des triangles tout en veillant à ce qu'elles soient concourantes)

On obtient deux carrés : un carré de côté a (en haut à droite) et un autre de côté b (en bas à gauche).

On obtient aussi, en bas à droite, deux triangles isométriques à notre triangle bleu.

Et de même en haut à gauche, il y a deux triangles isométriques au triangle bleu.

Cette réorganisation de figure permet de bien éclaircir les triangles.

Par égalité des aires des grands carrés de côté a+b et vu que les quatre triangles rectangles (de dimensions a,b,c) se présentent dans les deux figures.

On aura donc :  Aire du carré de côté a + Aire du carré de côté b = Aire du carré de côté c

        D'où     a²+ b² = c² 

une autre illustration des égalités des aires.

2.Applications du théorème de Pythagore

On considère le triangle ABC rectangle en A.

1.Si AB=3 et AC=4. Calculer BC.

Par application directe du théorème de Pythagore on aura :

2.Si BC=10 et AC=8. Calculer AB.

Par application directe du théorème de Pythagore on aura :

Réciproque du théorème de Pythagore :

La réciproque est très simple. (C'est le retour en arrière de ce qu'on a fait auparavant)

C'est-à-dire, si dans un triangle ABC on la relation AB²+AC²=BC² DONC ABC est rectangle en A.

Exemple :

Montrer que ABC est un triangle rectangle.

Réponse :

On vérifie si BC²=AB²+AC²

On a BC²=13²=169

et AB²+AC²=5²+12²=25+144=169

Donc BC²=AB²+AC² est bien vérifiée.

Et d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en A.

3.Exercices

A vous de vous entraîner maintenant !

Les mathématiques nécessitent dans la plupart du temps des feuilles de travail, donc n'hésitez pas à les utiliser en cas du besoin.

Des explications sont jointes dans la réponse.

Très bon courage !

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1. La longueur de l'hypoténuse est toujours plus grande que celles des 2 autres côtés. FauxVraiJe ne sais pas

2. Quelle est la valeur de la longueur AC dans ce triangle rectangle . 141513Je ne sais pas

3. Quelle est la valeur de la longueur AB dans ce triangle rectangle . 879Je ne sais pas

4. Le triangle MNP est-il rectangle? OuiNonJe ne sais pas

5. Dans ce 'triangle Q5'. Calculer AH 687Je ne sais pas

6. Dans le 'triangle Q5'. Calculer AB 7,56,58,5Je ne sais pas

7. Dans le 'triangle Q5'. ABC est-il rectangle ? NonOuiJe ne sais pas

8. Dans cette figure . Calculer BD. 423Je ne sais pas

9. ABCD un trapèze avec des angles droits (ADC) et (BCD) . Calculer AB. 456Je ne sais pas