Suites Numériques

I)Généralités

A- Définitions

Une suite numérique u est une fonction de  dans ,qui, à chaque nombre ,associe un réel noté u(n) ou u_n : n u(n). Elle peut être définie de deux manières :

- explicitement, c'est-à-dire que l'on exprime u_n en fonction de n, pour tout entier n. Exemple : u_n=3n+5. On peut alors calculer un terme quelconque sans connaître les termes précédents. Exemple : pour n=6, u_n=3*6 + 5

- par récurrence, c'est-à-dire que que l'on donne le premier terme de la suite et une relation par récurrence entre un terme et le terme suivant. Exemple : u₀=4 et u_n+1=2u_n+4.On calcule alors pas à pas les termes u₁, u₂, u₃, u₄, ...jusqu'au terme u_n souhaité.

B- Représentations graphiques

Prenons la suite u_n=2n+1. On a alors u₀=1, u₁=3, u₂=5, u₃=7, u₄=9, u₅=11, u₆=13, ... On peut représenter cette suite soit sur une droite, soit dans un plan.

•  Sur une droite, on place les réels u_n= pour les premières valeurs de n :

• Dans un repère du plan : on place les points A_n de coordonnées (n;u_n) pour les premières valeurs de n.

C- Etude d'une suite numérique 

Une suite u_n, définie explicitement ou par récurrence,est dite croissante si et seulement si, pour tout n de , u_n≤u_n+1, décroissante si et seulement si, pour tout n de , u_n≥u_n+1.

S'il existe un réel m tel que, pour tout n de , u_n≥m,alors la suite u_n est dite minorée par m. Si il existe un réel M tel que, pour tout n de , u_n≤M, alors la suite u_n est dite majorée par M. Si la suite u_n est à la fois minorée et majorée, soit m≤u_n≤M, elle est alors dite bornée.

II)Suites arythmétiques et géométriques

A- Les suites arithmétiques

Définition: une suite u_n est dite arithmétique de raison r si pour tout n de , u_n+1=u_n+r, soit u_n=u₀+nr. Ainsi, les suites de la forme an+b, ou de constante u_n+1-u_n sont aussi des suites arithmétiques. Ces suites sont alors croissantes si r≥0, décroissantes si r≤0. 

1+2+3+...+n=

donc la somme des termes de ces suites de premier terme p est

up+up+1+up+2+...+un=

B- Les suites géométriques

Définition: une suite u_n est dite géométrique de raison q si pour tout n de , u_n+1=q*u_n,soit u_n=u₀*qⁿ. Ainsi, les suites de la forme a.bⁿ, ou de constante u_n+1÷u_n. Ces suites sont alors croissantes si q>1, décroissante si 0

1+q+q²+...+qn=

donc la somme des termes de ces suites de premier terme p est

up+up+1+up+2+...+un=

III)Limites d'une suite

A- Limite finie et infinie

On dit que la suite	un admet pour	limite  si tout intervalle ]A;[, A réel, contient tous les termes de un
à partir d'un certain rang :		La suite est dite divergente

On dit que la suite	un admet pour	limite  si tout intervalle ];B[, B réel, contient tous les termes de un
à partir d'un certain rang :		La suite est dite divergente

On dit que la suite	un admet pour	limite  si tout intervalle ouvert contient tous les termes de un
à partir d'un certain rang :		La suite est dite convergente

Comportement à l'infinie d'une suite géométrique : la limite dépend de la raison q :

q	q≤-1	-1	q=1	q>1
	Pas de limite	0	1	+

Remarque : Théorème de convergence : Si un est croissante ET majorée, ou décroissante ET minorée, la suite est alors convergente.

Attention : cela ne donne pas la limite.

Remarque : une suite divergente n'admet nécessairement de limite finie/infinie. C'est le cas de la suite u_n=(-1)ⁿ, qui prend alternativement les valeurs -1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite : elle est donc divergente.

B - Limites usuelles et opérations

Sommes Produits

>0

>0

<0

<0

0

0

'

'

+'

F.I.

×'

F.I.

F.I.

Inverses Quotients

≠0

>0

>0

<0

<0

0

'≠0

'>0

'<0

'>0

'<0

0

0

F.I.

F.I.

C - Comparaison de limites

Théorème de comparaison : 1 - Soit u_n et v_n, deux suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n₀, u_n≤v_n et que 

  2 - Soit u_n et v_n, deux suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n₀, u_n≥v_n et que 

Théorème d'encadrement : Soit u_n, v_n et w_n, trois suites définies sur . Si, à partir d'un certain rang n₀, u_n≤v_n≤w_n et que 

Voici tous ce qu'il faut savoir sur les suites numériques (en 1re et Tle S).

Les démonstrations n'ont pas été mises du fait que chaque exemple est unique (il peut être aussi bien facile ou compliqué à comprendre), et que mes notes ne me permettent pas de vous donner de bien démonstration. Ainsi vous ''faut-il'' répondre aux questions suivantes pour voir si vous avez bien compris ce cours. Attention : le signe multiplier est représenté par un 'x' !