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Suites arithmétiques

1- Une suite (Un) est dite arithmétique si pour tout n entier naturel on a:

U_n+1=U_n+ r

où r est la raison de cette suite.

Remarque1: pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule U_n+1 - U_n

Si on obtient une valeur constante alors la suite (U_n) est une suite arithmétique.

Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.

exemple 1- U_n=3n-2.

U_n+1 – U_n= 3(n+1)-2-(3n-2)= 3n+3-2-3n+2 = 3 donc (U_n) est une suite arithmétique de raison 3.

exemple 2- U_n=n² + 1.

U_n+1 – U_n= (n+1)² +1 – n² – 1 = 2n+1. donc (U_n) n'est pas une suite arithmétique.

2- Le terme général d'une suite arithmétique (U_n) est donné par la formule suivante:

U_n = U_p + (n-p)×r (où U_p est le terme initial).

Remarque2: cas particulier si U₀ est le terme initial, alors U_n=U₀+nr.

Remarque3: toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.

3- La somme des termes consécutifs S_n=U₀+U₁+.........................+U_n est donnée par la formule suivante :

S_n = nombre de termes × (premier terme+dernier terme)/2

ici on a: S_n = (n+1) × ( U₀+U_n )/2

Exemple :

Soit (U_n) la suite arithmétique de terme initial U₀=-2 et de raison r=3; alors son terme général est donné par : U_n=3n-2 .

Calculons S₁₀ = U₀+U₁+................+U₁₀.

D'abord calculons U₁₀ = U₀+ 10×r = -2 + 10×3 = 28.

S₁₀ = 11 × (-2 + 28)/2 = 11 × 26/2 = 11 × 13 = 143.

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On considère la suite arithmétique de premier terme U₀=5 et de raison r= -2
U₁=

U₂=

U_n= (terme général donné en fonction de n)

U₅=

U₁₀=

U₂₀= =

U₂₀₁₁=

Calcul de la somme: S₅= U₀+U₁+.....+U₅=

Calcul de la somme: S₁₀= U₀+U₁+.....+U₁₀=

Calcul de la somme: U₁₀+U₁₁+.....+U₂₀=