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Résolution par Substitution

Pour résoudre par substitution un système de deux équations et deux inconnues, on procède de la façon suivante :

on exprime x en fonction de y à l'aide d'une des équations

on remplace alors x par l'expression trouvée dans l'autre équation

on résout alors l'équation en y obtenue

s'il existe une valeur de y solution, on calcule x avec la première équation

s'il n'existe pas de y solution, le système n'a pas de solution

s'il existe une infinité de y solution, alors le système admet une infinité de solutions

ou bien

on exprime y en fonction de x à l'aide d'une des équations

on remplace alors x par l'expression trouvée dans l'autre équation

on résout l'équation obtenue

etc.

Exemple : Soit le système formé par les deux équations suivantes

2x+y-6=0 (E1)

x-y+3  =0 (E2)

1. A l'aide de l'équation (E1), on exprime y en fonction de x.

y= -2x+6

2. Dans l'équation (E2), on substitue (on remplace) y par-2x+6 :

x-y+3=0 devient x-(-2x+6)+3=0, soit x+2x-6+3 = 0 soit encore 3x-3 = 0

On en déduit 3x=3 soit x=1.

3. Dans l'équation (E1): y=-2x+6, on calcule y pour x=1.

pour x=1,  y=-2x+6=-2×1+6=4

Le couple solution du système est : (1;4)

Notez bien que cette méthode n'est pas l'unique méthode pour résoudre un système.

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Soit le système (S1) formé des deux équations suivantes (E1): -2x+y=3 et (E2):x-2y+3=0.
Exprimes y en fonction de x : y = -2x-32x+32x-3Je ne sais pas
Remplace y par son expression en fonction de x dans l'équation (E2) et simplifie: 5x+9-3x+9-3x-3Je ne sais pas=0
Résous l'équation obtenue et donne la solution x=-1-0,83Je ne sais pas
Remplace x par sa valeur dans l'équation (E1) ou (E2), résous et donne y=1-24Je ne sais pas
Le couple de coordonnées du système (S1) est : (-1;12;34;0Je ne sais pas)

Soit le système (S2) formé des deux équations suivantes (E3): x+2y=-4 et (E4): x-y-2=0.
Exprime x en fonction de y en utilisant (E3) : x = 2y-4-2y-42y+4Je ne sais pas
Remplace x par sa valeur dans l'équation (E4) et résous: y = 5-24Je ne sais pas
Remplace y par sa valeur dans une équation et résous. x = 3-40Je ne sais pas
Le couple de coordonnées du système (S2) est : (0;-23;54;-4Je ne sais pas)