Relation d'équivalence, Relation d'ordre

RAPPELS :

(1)  Soit R une relation binaire sur un ensemble non vide E. Soient x,y et z des éléments de E.
R est une relation d'équivalence sur E si :
- Elle est réflexive : xRx
- Elle est symétrique : xRy entraîne yRx
- Elle est transitive : xRy et yRz entraînent xRz
La classe d'équivalence suivant R d'un élément x  notée [x], est l'ensemble des éléments y de E tels que xRy.
Donc, on dira que y est dans [x] <-----> xRy.

(2)  Soit S une relation binaire sur un ensemble E non vide :
- S est une relation d'ordre si pour tout x, y, z appartenant à E,
- S est réflexive : xSx
- S est antisymétrique : xSy et ySx entraînent x=y
- S est transitive : xSy et ySz entraînent xSz.
NB:
a) Si E est muni d'une relation d'ordre, on dira que E est ordonné.
b) Si pour tout x,y dans E on a xSy ou ySx, S étant un ordre, on dira que S est un ordre total, et donc que E est totalement ordonné.
c) Si l'ordre n'est pas total, il est dit partiel. E est alors partiellement ordonné.

ENONCÉ :

Soit E l'ensemble des diviseurs positifs de 60,
soient x et y des éléments de E,
soient A et B des parties de E,
on définit les relations binaires R, S et T sur E par :
xRy <-----> x divise y
xSy <-----> x-y multiples de 5
ATB <-----> A inclus dans B

CONSIGNE :

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