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Réduction de sommes vectorielles

Un des principaux intérêts des barycentres est leur utilisation pour réduire des sommes de vecteurs

PROPRIÉTÉ

Si a +b ≠0 alors pour tout point M du plan, on a: où G est le barycentre de (A, a) et (B,b)

Si a+b+c ≠ 0, alors pour tout point M du plan, on a: où G est le barycentre de (A, a), (B, b), (C, c)

Exemple :

Si on veut réduire la somme , comme 2-3+6≠0, on introduit le barycentre de (A,2),(B,-3) et (C,6)

On a alors:

Remarque : Si la somme des coefficients est nulle, le système des trois points pondérés (A,a),(B,b) et (C,c) n'a pas de barycentre; dans ce cas, en utilisant la relation de Chasles, on peut montrer que la somme de vecteurs est en fait indépendante du point M.

Exemple :

Dans le test on attend toujours une réponse du type vec(MG) ou k.vec(MG) ou vec(0) en n'utilisant que des points indiqués dans l'énoncé et où k est un nombre non nul.

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attention : la réponse doit être de la forme vec(MG) ou k.vec(MG) ou vec(0)
ABC est un triangle de centre de gravité G; A' est le milieu de [AB]; D est le barycentre de (A,3) et (B,-5); K est le barycentre de (A,2) et (B,1); L est barycentre de (A',2) (C,3) et enfin E est milieu des points K et D