Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°129016 : Raisonnement par récurrence : Principe et Applications - cours

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Raisonnement par récurrence : Principe et Applications - cours

Le raisonnement ou la démonstration par récurrence est une méthode mathématique utilisée pour prouver qu'une proposition est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un cas de base et d'une étape de récurrence.

Le processus de démonstration par récurrence se divise en trois étapes clés :

1.Cas de base :

Le cas de base consiste à vérifier la proposition pour la plus petite valeur de l'entier naturel concerné.

Il s'agit généralement de vérifier si la proposition est vraie lorsque n prend la valeur minimale.

On vérifie explicitement la proposition pour cette valeur.

2.Hypothèse de récurrence :

Dans cette étape, on suppose que la proposition est vraie pour un entier $k$ quelconque, appelé l'hypothèse de récurrence.

Et on l'utilise pour prouver qu'elle est également vraie pour $k+1$ .

3.Démonstration de l'étape de récurrence :

Dans cette étape, on utilise l'hypothèse de récurrence pour prouver que la proposition est vraie pour $k+1$ .

On démontre que si la proposition est vraie pour $k$ , alors elle est également vraie pour $k+1$ .

On effectue les manipulations mathématiques nécessaires en utilisant l'hypothèse de récurrence pour parvenir à la conclusion souhaitée.

En appliquant ces trois étapes, on peut prouver que la proposition est vraie pour tous les entiers naturels à partir du cas de base et de l'étape de récurrence.

Applications :

Exemple 1 : Démontrons par récurrence que pour tout entier n $\forall n\geq1$ ; $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Cas de base : Vérifions la proposition pour n = 1.
On a $1=\frac{1(1+1)}{2}=1$ .

Donc, la formule est vérifiée pour n = 1.

Hypothèse de récurrence : Supposons que la proposition soit vraie pour un entier $k$ quelconque, c'est-à-dire que $1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$

Démonstration de l'étape de récurrence : Montrons que la proposition est également vraie pour $k+1$ .

c'est-à-dire que $1+2+...+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$ .

$1+2+...+k+1=1+2+...+k+k+1$

$=\frac{k(k+1)}{2} + k+1$ [par hypothèse de récurrence]

$=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$

$=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Donc, la formule est vérifiée pour $k+1$ .

Par le principe de récurrence, on peut conclure que la proposition est vraie pour tous les entiers n ≥ 1.

Exemple 2 : Démontrons par récurrence que $\forall n\geq0$ ; $3^{n}\geq n$

Cas de base : Vérifions la proposition pour n = 0.

On a $3^{0}=1\geq 0$

Donc, la proposition est vraie pour n = 0.

Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier $k\geq 1$ , on a $3^{k}\geq k$ .

Démonstration de l'étape de récurrence : Montrons que la proposition est également vraie pour k+1 : Nous devons donc prouver que $3^{k+1}\geq k+1$ .

On a $3^{k+1}=3^{k}\times 3$ [par les propriétés des exposants]

$\geq k\times 3$ [par hypothèse de récurrence : $3^{k}\geq k$ ]

$\geq 3k$

Maintenant, nous devons montrer que $3k\geq k+1$ .

Pour cela, nous pouvons soustraire les deux côtés de l'inégalité : $3k - (k+1) = 2k - 1\geq 0$ [par le fait que $k\geq 1$ ]

Donc nous concluons que $3k\geq k+1$ .

Ce qui confirme la proposition pour $k+1$ .

Par le principe de récurrence, on peut conclure que la proposition est vraie pour tous les entiers n ≥ 0.

Maintenant, procédez de la même façon pour vérifier si les formules ci-dessous sont-elles démontrables par récurrence.

Pour ainsi faire, il faut bien manipuler les formules par des expressions algébriques nécessaires.

Un indice sur l'étape de récurrence est joint au corrigé pour chaque question.

Bonne chance!

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1. La formule est-elle démontrable par récurrence ?

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