Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°58003 : Racines carrées, inverses et quotients - cours

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Racines carrées, inverses et quotients - cours

Considérons un entier naturel noté n

Le nombre noté √n est l'unique nombre positif dont le carré est égal à n

Si n > 0, alors $\red { \sqrt n }$ est positif et non nul;
Alors √ n admet un inverse noté $\red { 1 \over \sqrt n }$

On peut écrire l'inverse de la racine carrée de l'entier n sous la forme d'un quotient ayant un dénominateur entier

En effet : en multipliant numérateur et dénominateur par √n, on obtient l'égalité :

${ \red { {1 \over \sqrt n}= { \sqrt n \over n} }}$

Exemple : ${ \green { {1 \over \sqrt 3}= { \sqrt 3 \over 3} }}$

Utilisation de l'expression conjuguée d'une expression comportant une racine carrée

* Le nombre a-√b est appelée expression conjuguée de a+√b

* note: le nombre a+√b est appelée expression conjuguée de a-√b

* Il faut savoir développer des expressions avec racines carrées comme ci-dessous :
(a-√b)(a+√b)=a²-√b²=a²-b

(a-√b)(c+√d)=ac-c√b+a√d-√(bd)

Exemple : $\green {\frac{1}{2- \sqrt 3}=\frac {1(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}=\frac {2+\sqrt 3}{2^{2}-3}=2+ \sqrt 3}$

* A chaque fois que l'on obtient un quotient avec dénominateur comportant des racines carrées, on utilise la quantité conjuguée pour obtenir une écriture du quotient sans racine carrée au dénominateur
Exemples :
$\green { \frac{5+\sqrt 7}{2- \sqrt 3}= \frac{(5+\sqrt 7)(2+\sqrt 3)}{(2- \sqrt 3)(2+\sqrt 3)}= \frac{(5+\sqrt 7)(2+\sqrt 3)}{4-3}=(5+\sqrt 7)(2+\sqrt 3)}$
ou en développant $\green {\frac{5+\sqrt 7}{2- \sqrt 3} =10+ 5\sqrt 3+2 \sqrt 7+\sqrt {21}}$

$\green {\frac{2+\sqrt 5}{2- \sqrt 5}=\frac {(2+\sqrt 5)^{2}}{(2-\sqrt 5)(2+\sqrt 5)}=\frac {(2+\sqrt 5)^{2}}{2^{2}-5}=\frac{(2+\sqrt 5)^{2}}{-1}=-(2+ \sqrt 5)^{2}}$
ou en développant le numérateur $\green {\frac{2+\sqrt 5}{2- \sqrt 5}=-(4+5+4 \sqrt 5)=-9-4 \sqrt 5}$

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$\frac {1}{ \sqrt 6}=$ $\; \; \;\; \; \; \; \; \;\frac {\sqrt {200}}{ \sqrt {242}}=$
$\frac {5}{1+ \sqrt 6}=$ $\; \;\; \; \; \;\frac {15}{5- \sqrt 5}=$
$\frac {1+\sqrt 2}{ \sqrt 6}=$ $\; \; \; \;\; \;\frac {1+\sqrt 5}{3- \sqrt 5}=$
$\frac {1-\sqrt8}{1+ \sqrt 2}=$ $\; \; \; \;\; \; \sqrt 6-\frac {1-\sqrt 6}{ \sqrt 6}=$
$\frac {1+\sqrt 5}{2 \sqrt 5}-\frac {1-\sqrt 5}{2 \sqrt 5}=$ $\;\; \; \; \frac {8}{ (\sqrt 5 +1)^{2}}=$

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