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Produit de facteurs premiers - pgcd ppcm

Je vous offre un petit tour avec les nombres premiers... 

Rappels des règles :

Un nombre premier est divisible par lui-même et par 1.
Nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ;  59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Diviseurs d'un nombre :

Exemple :

360÷2 => 180÷2 => 90÷2 => 45÷3 => 15÷3 => 5÷5 = 1.

Les diviseurs pour 360 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 24 ; 30 ; 36 ; 40 ; 45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 ; 360; (On prend le premier chiffre que l'on multiplie au dernier nombre, (1×360) ; le second chiffre  multiplié par l'avant-dernier nombre (2×180) ; puis le troisième chiffre multiplié par l'avant-avant-dernier nombre (3×120) ; et on continue ce qui donne  (4×90) ; (5×72) ; (6×60) ; (8×45) ; (9×40) ; (10×36) ; (12×30) ; (15×24) ; (18×20) qui est au milieu de cette liste.

Le pgcd (plus grand commun diviseur) de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers, est égal au produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres, chacun d'eux n'est pris qu'une seule fois, avec son exposant le plus petit.

Exemple :

60 = 2×2×3×5 = 2²×3×5...et
45 = 3×3×5 = 3²×5.
Le pgcd = 3×5 = 15.

Le ppcm (plus petit commun multiple), de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers est égal au produit de tous les facteurs premiers communs ou non, chacun d'eux n'est pris qu'une seule fois, avec son exposant le plus grand.

Exemple :

60 et 45 que nous venons de voir ci-dessus,
60 = 2×2×3×5 = 2²×3×5...et
45 = 3×3×5 = 3²×5.
Le ppcm = 2²×3²×5 = 180.

Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers :

Pour connaître si un nombre est premier, on divise successivement par les nombres premiers pris dans l'ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ...
1) Si une division a un reste nul, le nombre donné n'est pas premier.
2) Si dès que le quotient devient plus petit que le diviseur, aucune division n'est possible, plus la peine de chercher, ce nombre est premier.

Exemple  : 103 :

Un nombre est divisible par 2, s'il est pair (finissant par 0; 2; 4; 6; 8)
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, exemple 27141 on fait 2+7+1+4+1 = 15, ... 15 est divisible par 3 donc ce nombre 27141 est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 5 s'il est terminé par 0 ou par 5.
Un nombre est divisible par 11 quand la différence entre la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite, et la somme des chiffres de rang pair se divise par 11 ou s'annule,

exemple 1089

on fait (9+0)-(8+1) = 9 - 9 = 0, donc 1089 est divisible par 11... =11×99... qui lui-même est divisible par 9 puisque  99 =11×9.
103 n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11... 103÷11 = 9,36... donc 103 est bien un nombre premier, car s'il était divisible par un nombre supérieur à 11, il serait aussi divisible par un nombre inférieur à 9, ce qui n'est pas le cas.

Deux nombres étant décomposés en produits de facteurs premiers, pour que l'un soit divisible par l'autre, il faut qu'il ait tous les facteurs de cet autre, avec des exposants au moins égaux.

Exemple :

A = 2²×3³×5³×7³×11³... et
B = 2¹×3²×5¹×7²×11³.
A/B = (2²×3³×5³×7³×11³)÷(2¹×3²×5¹×7²×11³) = on soustrait les puissances à chaque chiffre ou de chaque nombre et on obtient :
2¹×3¹×5²×7¹×11º = 2×3×5²×7¹×1 = 2×3×25×7×1= 1050.

 Ne confondez pas quel que soit n, n¹ = n et nº =1, c'est-à-dire que 4¹ = 4 et 4º =1...

Maintenant c'est à vous. Répondez aux questions en ne donnant que vos résultats. Soyez très attentifs... ! Dans les 6 dernières questions, à la place du signe multiplié , il faut écrire le mot fois... sinon, ça ne marche pas, même avec le code de la multiplication ×  !... Écrivez le mot "fois" sans les guillemets... !

Amusez-vous bien et bonne chance.

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Pour insérer facilement des caractères accentués et symboles mathématiques :


1. Quel est le pgcd de 36 ; 42 ; 60 ? .

2. Quel est le ppcm de 36 ; 42 ; 60 ? .

3. Quel est le pgcd de 90 ; 125 ; 605 ? .

4. Quel est le ppcm de 90 ; 125 ; 605 ? .

5. Quel est le pgcd de 176 : 112 ; 208 ? .

6. Quel est le ppcm de 176 ;112 ; 208 ? .

7. Décomposez en produits de facteurs premiers 5400 (écriture avec exposants) ? .

8. Décomposez en produits de facteurs premiers 42 (écriture sans exposant) ? .

9. Décomposez en produits de facteurs premiers 225 (écriture avec exposants) ? .

10. Décomposez en produits de facteurs premiers 1323 (écriture avec exposants) ? .

11. Calculez sous la forme de produit de facteurs premiers la fraction suivante réduite au maximum : 6300/210 (écriture sans exposant) ? .

12. Calculez sous la forme de produit de facteurs premiers la fraction suivante réduite au maximum : 3630/66 (écriture sans exposant) ? .