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Probabilités - cours

1. Expérience aléatoire

Le lancer d'un ou de plusieurs dés, le tirage de cartes ou de numéros sont des expériences aléatoires : on connaît les résultats possibles, mais on ne sait pas lequel va se produire avant l'expérience réalisée.

2. Éventualités. Univers.

Les résultats possibles d'une expérience aléatoire sont appelés éventualités ou issues.

L'ensemble des éventualités est appelé univers ; on le note souvent Ω.

exemple : On lance un dé cubique.

Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L'univers est Ω= ensemble des nombres 1; 2; 3; 4; 5; 6

3. Événements

Une partie de l'univers est appelée événement.

Un événement élémentaire est un événement constitué d'une seule éventualité.

Deux événements sont contraires lorsque leur réunion est l'univers et leur intersection est vide.

exemples : On lance un dé cubique.

L'événement "obtenir un nombre impair" est constitué des nombres 1 ; 3 ; 5 ; l'événement contraire est constitué de 2 ; 4 ; 6.

L'événement "obtenir six" est constitué du nombre 6 : c'est un événement élémentaire.

L'événement "obtenir 8" est Ø, ensemble vide : c'est l'événement impossible.

L'événement "obtenir un nombre inférieur à 10" est égal à l'univers Ω : c'est l'événement certain.

4. Probabilité

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1.

0 est la probabilité de l'événement impossible, et 1 est la probabilité de l'événement certain.

Plus la probabilité d'un événement est proche de 1, plus l'événement a des "chances" de se réaliser.

La probabilité d'un événement est égale à la probabilité des événements élémentaires qui le composent.

On définit une loi de probabilité sur l'ensemble des n issues d'une expérience aléatoire, en associant à chaque issue notée xi un nombre pi positif de sorte que la somme p1+p2+p3+...+pn = 1.

exemples :

1. Les statistiques effectuées sur les naissances permettent d'estimer qu'il naît 100 filles pour 205 naissances, soit environ 48.8% de naissances de filles. On peut définir une probabilité sur l'univers lié aux deux événements F : "l'enfant à naître est une fille" et G : "l'enfant à naître est un garçon", en utilisant ces statistiques : p(F)=0.488 et p(G)=0.512.

2. La probabilité d'obtenir un nombre impair lorsqu'on lance un dé cubique est égale à :

p(1)+p(3)+p(5)

Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité de se réaliser, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables.

exemples : Le lancer d'un dé non pipé (= bien équilibré) est associé à six événements élémentaires équiprobables :

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

On peut aussi estimer qu'il y a une chance sur deux d'avoir une fille quand on attend un enfant.
Dans ce cas, on a défini une probabilité sur l'univers de sorte que les événements élémentaires soient équiprobables : p(F)=p(G)=1/2

Propriétés : A et B sont deux événements liés à une même expérience aléatoire.

p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

Les probabilités sont un outil que l'on retrouve :

- dans les jeux de hasard

- dans la météo

- dans l'évaluation des risques dans des installations industrielles

- en médecine

- etc.

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Exercice 1: On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité des événements suivants :
a) A:'La carte tirée est une dame', alors p(A)=
b) B:'La carte tirée est un cœur', alors p(B)=
c) C:'La carte tirée est la dame de cœur', alors p(C)=
d) D:'La carte tirée est un cœur ou une dame', alors p(D)=
e) E:'La carte tirée n'est ni une dame, ni un cœur', alors p(E)=
f) F:'La carte tirée est une carte marquée deux', alors p(F)=


exercice 2: On lance une pièce de monnaie et un dé bien équilibrés.
Tomber sur PILE rapporte 1€, tomber sur FACE ne rapporte rien.
Tomber sur 6 rapporte 2 €, tomber sur un nombre pair autre que 6 rapporte 1 €, tomber sur un numéro impair ne rapporte rien
a) La probabilité d'obtenir 3 € est égale à
b) On sait que la pièce est tombée sur PILE; la probabilité d'obtenir exactement1 € à la fin du jeu est égale à
c) La probabilité de tomber sur FACE et d'obtenir 1 € est égale à
d) La probabilité d'obtenir exactement 1 € est égale à
e) La probabilité de gagner de l'argent est égale à