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Probabilité-loi binomiale

Probabilité– loi binomiale

Épreuve de Bernoulli :

On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve n'ayant que deux issues : Succès (S) et Échec(E).

Exemple 1 : On lance une pièce (pile ou face).

La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l’issue succès (S) la probabilité p et à l’issue échec (E) la probabilité (1-p).

Schéma de Bernoulli :

On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l’issue de schéma de Bernoulli.

Donc la loi de probabilité de X est la loi Binomiale de paramètres n et p , notée B(n;p).

Propriété 1:

Soit B(n ; p) une loi Binomiale, la probabilité d’obtenir k succès (0≤ k ≤n) est donnée par la formule suivante :

P(X=k) =  . . 

Avec  le coefficient binomial pour k succès.

Coefficients binomiaux :

Les coefficients binomiaux indiquent le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès.

Exemple 2 : On considère une épreuve de Bernoulli, deux issues «succès» S et «échec» E. On répète 3 fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s’intéresse au nombre de succès. Donc:

 Nombre de chemins à 3 succès: (SSS) = 1

 Nombre de chemins à 2 succès: (SSE), (SES) et(ESS) = 3

 Nombre de chemins à 1 succès: (SEE), (ESE) et(EES) = 3

 Nombre de chemins à 0 succès: (EEE) = 1

Propriétés 2:

 = 1 et  =1

 +  = 

 = 

On peut utiliser aussi une calculatrice pour calculer les coefficients binomiaux.

Propriétés 3:

Soit B (n ; p) une loi binomiale de paramètres n et p alors:

Espérance mathématique : E = n.p

Variance :V = n.p.(1-p)

EXERCICE

Dans un jeu où on a une chance sur 5 de gagner.

On joue 5 fois de suite (répétitions identiques et indépendantes). Soit X la variable aléatoire correspondant aux gains.

On donnera pour le calcul des probabilités et dans chaque cas la valeur approchée à  =0,000001 prés.

Répondre aux questions suivantes :

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1. X suit une loi binomiale, donner ses paramètres sous forme (n;p) avec p sous sa forme décimale :

2. Quelle est la probabilité de ne pas gagner ?

3. Quelle est la probabilité de gagner une fois ?

4. Quelle est la probabilité de gagner 2 fois ?

5. Quelle est la probabilité de gagner 3 fois ?

6. Quelle est la probabilité de gagner 4 fois ?

7. Quelle est la probabilité de gagner 5 fois ?

8. Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?

9. Quelle est l'espérance E(X) ?

10. Quelle est la variance V(X) ?