PPCM-Plus Petit Multiple Commun - cours

Le ppcm de deux nombres entiers naturels (non nuls) est leur plus petit multiple commun non nul.
On note ppcm(a, b) le ppcm des nombres a et b.

Nous allons calculer ppcm(132, 72) de trois manières différentes :

Méthode n° 1 :

Étudions les multiples des deux nombres.
Les multiples de 132 sont :
0 ; 132 ; 264 ; 396 ; 528 ; 660 ; 792 ; 924 ; ... (liste infinie)

Les multiples de 72 sont :
0 ; 72 ; 144 ; 216 ; 288 ; 360 ; 432 ; 504; 576 ; 648 ; 720 ; 792 ; ... (liste infinie)

Les multiples communs sont : 0 ; 792 ; ... (On trouverait ensuite : 1584; 2372 ; ...)
Le plus petit multiple commun non nul est 792.

Remarque : les multiples communs sont les multiples du ppcm.

Méthode n° 2 :

Utilisons les décompositions en produits de facteurs premiers.

72= 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2³x 3²
132= 2 x 2 x 3 x 11 = 2²x 3¹ x 11¹

Prenons tous les facteurs qui figurent dans l'un au moins de ces produits ; s'ils ont des exposants, nous leur attribuons leur plus grand exposant ; effectuons ensuite le produit :
ppcm(72, 132) = 2³x 3² x 11¹= 8 x 9 x 11 = 792

Méthode n° 3 :

Utilisons la formule : pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b

Le produit de deux nombres entiers (non nuls) est toujours égal au produit de leur pgcd par leur ppcm.
On peut commencer par calculer le pgcd de 72 et 132.On trouve : pgcd(72, 132) = 12.
Donc:
ppcm(72, 132) = (72 * 132) / 12 = 792.