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Positions relatives de deux cercles - cours

Soient deux cercles C(O, R) et C'(O', R'). Ils peuvent occuper l'un par rapport à l'autre 7 positions différentes.

1er cas : Les deux cercles peuvent être extérieurs l'un à l'autre.

Deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre si la distance entre leurs centres est supérieure à la somme de leurs rayons.

OO' > R + R'

OO' = OA + AA' + A'O'

Or OA = R  et  A'O' = R'

OO' = R + R' + AA'

Donc  OO' > R + R'

2ème cas : Les deux cercles peuvent être tangents extérieurement.

C et C' sont tangents extérieurement si la distance de leurs centres est égale à la somme de leurs rayons.

OO' = R + R'

OO' = OA + AO'

Avec  OA = R  et  AO' = R'

 Donc  OO' = R + R'

Propriété

Si deux cercles sont tangents, leur point de contact est sur (OO')

3ème cas : Les deux cercles peuvent être sécants.

C et C' sont sécants  si la distance de leurs centres est supérieure à la différence de leurs rayons et inférieure à la somme de leurs rayons.

R - R' < OO' < R + R'

Suivant la figure ci-dessus, on a : 

OO' = OA + AO'   (1)

OO' = OA' + A'O'  (2)

Posons OO' = OO'

OA + AO' = OA' + A'O'

Avec  OA = R  et  A'O' = R'

R + AO' = OA' + R'

R - R' = OA' - AO'

Avec OA' = OO' - A'O'

R - R' = OO' - A'O' - AO'

Avec  A'O' = R'

R - R' = OO' - R' - AO'

R - R' = OO' - (R' + AO')

Donc R - R' < OO' 

deuxièmement

OO' = OA' + AA' + AO'

Avec R = OA' + AA'

OO' = R + AO'

Or AO' = A'O' - AA'

OO' = R + A'O' - AA'

OO' = R + R' - AA'

OO' + AA' = R + R'

Donc  OO' < R + R'

En conclusion : R - R' < OO < R + R'

Propriété

Si deux cercles sont sécants, (OO') est médiatrice de la corde commune.

4ème cas : Les deux cercles peuvent être tangents intérieurement.

C et C' sont tangents intérieurement si la distance de leurs centres est égale à la différence de leurs rayons.

OO' = R - R

OA = OO' + O'A

Avec  OA = R  et  O'A = R'

R = OO' + R'

OO' = R - R'

5ème cas : C' peut être intérieur à C

C' est intérieur à C si la distance de leurs centres est inférieure à la différence de leurs rayons.

OO' < R - R'

OA = OO' + O'A' + AA'

Avec  OA = R  et  O'A' = R'

R = OO' + R' + AA'

R - R' = OO' + AA'

Donc OO' < R - R

6ème cas : Les deux cercles peuvent être concentriques

C et C' sont concentriques si la distance de leurs centres est nulle et que R > R'

OO' = 0

7ème cas : Les deux cercles peuvent être confondus

C et C' sont confondus s'ils ont même rayon et que la distance de leurs centres est nulle.

OO' = 0  et  R = R' 

Exercice

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1- Un cercle sécant à un autre, coupe l'autre en trois pointsdeux pointsun seul pointJe ne sais pas

2- Si le point de contact de deux cercles est sur le segment [OO'], ces deux cercles sont tangentssécantsextérieursJe ne sais pas

3- Deux cercles qui ont le même centre peuvent être seulement concentriquesconfondus ou concentriquesseulement confondusJe ne sais pas

4- La distance entre les centres de deux cercles tangents extérieurement est égale à la différence de leurs rayonssupérieure à la somme des rayonségale à la somme de leurs rayonsJe ne sais pas


Donner la position des deux cercles C(O, R) et C'(O', R') dans chacun des cas suivants :


5. OO' = 6 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est tangent intérieurement à CSécant à Cextérieur à Ctangent extérieurement à CJe ne sais pas

6. OO' = 2 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est tangent extérieurement à Ctangent intérieurement à Cconcentrique à Cintérieur à CJe ne sais pas

7. OO' = 0 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est intérieur à Cconfondu à Ctangent intérieurement à Cconcentrique à CJe ne sais pas

8. OO' = 10 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est sécant à Ctangent intérieurement à Ctangent extérieurement à Cextérieur à CJe ne sais pas

9. OO' = 1 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est intérieur à Cconcentrique à Ctangent extérieurement à Ctangent intérieurement à CJe ne sais pas

10. OO' = 8 ; R = 5 ; R' = 3. Le cercle C' est extérieur à Ctangent extérieurement à CSécant à Ctangent intérieurement à CJe ne sais pas