Polynômes - cours

polynômes

1. Une expression du type

est appelée polynôme de degré n, lorsque désignent des nombres réels avec

Exemples : est un polynôme de degré 2; est un polynôme de degré 5

2. Images

Calculer , c'est chercher l'image de (-3) par le polynôme ;
l'image de(-3) est donc 9 + 15 + 6 = 30;
on peut la noter P(-3); ainsi P(-3)=30

Plus généralement , l'image d'un nombre a, par un polynôme P(x) s'obtient en remplaçant x par a; on note cette image P(a).

schéma de Horner

3. Horner a cherché à minimiser le nombre d'opérations à effectuer pour calculer l'image d'un nombre par un polynôme.

Par exemple: Pour calculer P(a) lorsque , on doit effectuer 3 additions et 6 multiplications, soit 9 opérations

En écrivant P(x) sous la forme ((3x + 5)x + 4)x + 8 appelée schéma de Horner, pour calculer P(a), on effectue seulement 6 opérations! soit une économie de 3 opérations!

Calculons P(2) à l'aide du schéma de Horner:

, ,

, ,

et enfin

D'où P(2)=60

Facile, non ? et sans calculatrice!

Disposition pratique des calculs pour le calcul de P(a)

Dans un tableau, on inscrit les coefficients de P(x)dans 'l'ordre'. Attention : si un coefficient vaut 0, il ne faut pas oublier d'inscrire 0 dans le tableau!)

Exemple : Calcul de P(2) lorsque

_on inscrit les coefficients 3 , 5 , 4 et 8 sur la première ligne d'un tableau;

_on inscrit des + à la deuxième ligne (sauf sous le premier coefficient)

_on descend le coefficient 3 à la quatrième ligne;

_on multiplie le coefficient 3 par 2; on met le résultat 6 sous le deuxième coefficient à la troisième ligne;

_on additionne le second coefficient 5 avec 6 et on met le résultat 11 à la dernière ligne;

_et on recommence: on multiplie 11 par 2, puis on met le résultat 22 sous le troisième coefficient 4 à la troisième ligne:

_on additionne le troisième coefficient 4 avec 22 et on met le résultat 26 à la dernière ligne;

_et on recommence : on multiplie 26 par 2, puis on met le résultat 52 sous le quatrième coefficient 8 à la troisième ligne:

_on additionne le quatrième coefficient 8 avec 52 et on met le résultat 60 à la dernière ligne;

_terminé ! on peut dire P(2)=60

c'est un peu long à expliquer ...

mais il suffit de faire le tableau suivant !

4. Factorisation par (x-a) de P(x)-P(a)

Propriété: on peut écrire P(x)-P(a) sous la forme d'un produit d'un polynôme Q(x) par (x-a)

Et formidable! Les coefficients du polynôme Q(x) sont les nombres donnés dans le tableau à la dernière ligne (en enlevant le dernier):

Exemple: avec

on peut factoriser P(x)-P(2)par (x-2); c'est-à-dire on peut écrire P(x)-P(2)= (x-2)*Q(x)

le polynôme P a pour degré 3 donc le polynôme Q a pour degré 2 et

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1. L'une des expressions (5x-1)²+(4-3x)x²-34(x-1)²-(2x+3)²Je ne sais pas n'est pas un polynôme de degré 2

2. L'image de (-1) par le polynôme est le nombre -230Je ne sais pas

3. Pour le polynôme , le schéma de Horner est ((x)x-1)x-2(((x)x)x-1)x-2(((x)x-1)x)x-2Je ne sais pas

4. Pour le polynôme , le schéma de Horner est ((((x+1)x-8)x+1)x+1)x-2((((x+1)x+8)x-1)x+1)x-2((((x+1)x-8)x+1)+x)-2Je ne sais pas

5. Le polynôme a pour degré 543Je ne sais pas

6. L'image de (-2) par le polynôme est le nombre 3014-2Je ne sais pas

7. L'image de (-2) par le polynôme de degré 2 est le nombre 120Je ne sais pas

8. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-2), on trouve (x+2)(x-7)(x-2)(x+7)x²-5x-14Je ne sais pas

9. L'image de (-1) par le polynôme de degré 3 est le nombre 0-1-20Je ne sais pas

10. On donne le polynôme ; on peut factoriser P(x)-P(-1) par x+1, on trouve (x+1)(x²-6x+20)(x+1)(x-6)(x-1)(x²-x-20)Je ne sais pas