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Polygones réguliers - cours
Polygone
Un polygone est une figure géométrique plane formée par une ligne brisée fermée.
Le polygone ayant le plus petit nombre de côtés est le triangle.
Les polygones se nomment suivant le nombre de leurs côtés ;
un polygone qui a : 3 côtés est un triangle, 4 côtés est un quadrilatère, 5 côtés est un pentagone, 6 côtés est un hexagone, 7 côtés est un heptagone, 8 côtés est un octogone, 9 côtés est un ennéagone, 10 côtés est un décagone, etc.
Polygone régulier
Un polygone est dit régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.
- Un triangle équilatéral est un triangle régulier.
- Un carré est un quadrilatère régulier.
Un polygone régulier peut être croisé ou convexe.
- Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses côtés sont sécants.
- Un polygone est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.
Propriétés d'un polygone régulier :
- Tous les côtés ont la même longueur ;
- les angles au centre ont la même mesure ;
- les angles intérieurs ont la même mesure ;
- Il est inscriptible dans un cercle ;
- le centre du cercle circonscrit est le centre du polygone ;
Angle au centre d'un polygone régulier
(angle dont le sommet est le centre de ce polygone).
Si n est le nombre de côtés d'un polygone régulier convexe, O le centre de ce polygone et [AB] l'un des côtés de ce polygone, l'angle au centre AÔB a pour mesure :
AÔB = 360° / n
Exemple :
- Pour un triangle équilatéral (3 côtés) => AÔB = 360° ÷ 3 = 120°.
- Pour un carré (4 côtés) => AÔB = 360° ÷ 4 = 90°.
- Pour un pentagone (5 côtés) => AÔB = 360° ÷ 5 = 72°.
- Pour un hexagone (6 côtés) => AÔB = 360° ÷ 6 = 60°.
- Pour un octogone (8 côtés) => AÔB = 360° ÷ 8 = 45°.
- Pour un décagone (10 côtés) => AÔB = 360° ÷ 10 = 36°.
Angle intérieur d'un polygone régulier
(angle formé par deux côtés issus d'un même sommet).
Si n est le nombre de côtés d'un polygone régulier convexe, les segments [DE] et [EF] sont deux côtés consécutifs de ce polygone, l'angle intérieur Ê a pour mesure :
Ê = (n-2)*180 / n
- Pour un triangle équilatéral (3 côtés)=> Ê = (3 - 2) × 180 ÷ 3 => Ê = 60°
- Pour un carré (4 côtés) => Ê = (4 - 2) × 180 ÷ 4 => Ê = 90°
- Pour un pentagone (5 côtés) => Ê = (5- 2) × 180 ÷ 5 => Ê = 108°
- Pour un hexagone (6 côtés) => Ê = (6- 2) × 180 ÷ 6 => Ê = 120°
- Pour un octogone (8 côtés) => Ê = (8- 2) × 180 ÷ 8 => Ê = 135°
- Pour un décagone (10 côtés) => Ê = (10- 2) × 180 ÷ 10 => Ê = 144°
NB : Un angle au centre et un angle intérieur d'un polygone régulier convexe sont supplémentaires.
Faites le bon choix !
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