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PGCD, les méthodes !! - cours

Ce cours est très simple, mais demande de la concentration. Pour comprendre le plus simplement possible, lisez attentivement le cours et analysez du mieux possible l'exercice commenté.

a et b désignent deux nombres entiers positifs.

• Le PGCD de a et b est le plus grand nombre qui est un diviseur à la fois de a et de b. On le note : PGCD (a;b)
• Il existe plusieurs méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres. On peut notamment utiliser au choix :

1. Les listes des diviseurs de chacun des deux nombres.
2. L'algorithme des différences. (ou des soustractions successives)
3. L'algorithme d'Euclide. (ou des divisions successives)

Maintenant, ouvrez grand les yeux et regardez comment fonctionne chacune de ces méthodes :

Exemples :

1. Calculer le PGCD de 42 et 63 en écrivant les listes de leurs diviseurs

--> Pour éviter d'oublier des diviseurs lorsqu'on établit leur liste, écrivons-les dans l'ordre croissant.
(en soulignant ensuite les diviseurs communs aux deux listes)

DIVISEURS de 42 : 1;2;3;6;7;14;21;42
DIVISEURS de 63 : 1;3;7;9;21;63

Le plus grand diviseur commun de 42 et 63 est : 21

On écrit, PGCD (42 ; 63) = 21

2. Calculer le PGCD de 36 et 60 à l'aide de l'algorithme des différences.

Principe : si un nombre est un diviseur de 2 nombres a et b, alors il est aussi un diviseur de leur différence a - b

--> Commençons par soustraire 36 de 60 :   60 - 36 = 24
Donc le PGCD de 60 et 36 est un diviseur de 24. 
On continue en utilisant le résultat obtenu et le plus petit des 2 termes de la soustraction :
36 - 24 = 12
24 - 12 = 12
12 - 12 = 0

--> on prend le résultat juste au-dessus du zéro, c'est le PGCD ! (dernier résultat non nul)

C’est 12, donc on conclut que PGCD (36;60)= 12

3. Calculer le PGCD de 357 et 561 à l'aide de l'algorithme d'Euclide

Le principe est le même que pour les soustractions successives : on soustrait un nombre de l'autre autant de fois qu'on peut et on regarde ce qui reste : cela revient à faire une division euclidienne. Cette méthode est plus rapide en général. 

-->Commençons par effectuer la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit.

561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste.

561 = 357 x 1 + 204

Après, on continue :

On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division.

357÷204 ? On obtient : 357 = 204x1 + 153

Ensuite : 204÷153.On obtient : 204 = 153x1 + 51

Finalement : 153÷51. On obtient : 153 = 51x3+ 0

--> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.

Remarque: Pour les grands nombres (supérieurs à 100 par exemple), l'algorithme d'Euclide est la méthode la plus rapide en général.

 Ne vous préoccupez jamais des quotients, ils font partie du calcul mais ne servent plus ensuite.

Maintenant, si vous pensez avoir compris, essayez les exercices...

Petite précision : On dit que deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1, c'est-à-dire si leur PGCD est 1 !

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PGCD(18 ; 45) = 3, vrai ou faux ?

PGCD(2967 ; 798) = 3, vrai ou faux ?

PGCD(34 ; 58) =

PGCD(6 ; 8) =

Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux, vrai ou faux ?

Deux nombres pairs ne sont jamais premiers entre eux, vrai ou faux ?