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Paraboles

Un polynôme de degré 2, ax²+bx+c avec a différent de 0, admet pour représentation graphique une parabole dans le plan muni d'un repère

Cette parabole a pour équation y=ax²+bx+c
Cette parabole admet pour sommet le point dont l'abscisse est égale à
L'ordonnée du sommet se calcule en utilisant l'équation de la parabole

Il existe un axe de symétrie passant par le sommet; cet axe a pour équation . La forme canonique est donnée par la formule a(x-abscisseSommet)²+(ordonnéeSommet)

Exemple :
Soit la parabole d'équation y=x²+2x-3
a=1, b=+2 et c= -3

Le sommet a pour abscisse -b/(2a)=-2/(2)=-1 et pour ordonnée y=(-1)²+2(-1)-3=-4
Son axe de symétrie a pour équation x=-1

On peut écrire la forme canonique de x²+2x-3; il vient x²+2x-3= (x+1)²-4
On peut alors développer pour vérifier: (x+1)²-4=x²+2x+1-4=x²+2x-3

On peut alors factoriser (x+1)²-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)

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On considère le polynôme f(x)=x²-2x-8
On précise les coefficients de x², de x et la constante: a = , b = et c=
Soit (P) la parabole d'équation y=x²-2x-8
(P) admet pour sommet le point de coordonnées ( ; )
(P) admet pour axe de symétrie, la droite d'équation
La forme canonique de f(x) est f(x)= (x - )² + ( )

et la forme factorisée est f(x) =