Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°117859 : Notation exponentielle d'un complexe

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Notation exponentielle d'un complexe

Un nombre complexe peut se présenter sous différentes formes :

Forme cartésienne : z= a+ib (a et b réels)

par exemple z= 1+2i

Forme trigonométrique: z= ρ(cosβ +isinβ) ρ est le module du nombre complexe ,réel et toujours positif

et β est l'argument du nombre complexe exprimé généralement en radians.

On passe de la première forme à la seconde en calculant

le module ρ avec ρ=√(a²+b² et l'argument β tel que cosβ= a/ρ et sinβ=b/ρ.

par exemple avec z=1+2i on obtient ρ=√1²+2²=√5 et β tel que cosβ=1/√5 et sinβ=2/√5.

         Notation exponentielle : pour tout réel x on pose        $e^i^x$ =cosx +isinx
   et donc tout nombre complexe pourra s'écrire z=ρ $e^i^x$

   par exemple   $e^i^pi$ , $3e^i^pi$ etc ...

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Q1 : $exp^i^0=1$ mais combien vaut $exp^i^\pi$ ?

Q2 : Le nombre complexe 1+irac(3) a pour notation exponentielle a) $2e^i^\pi^/^3$ b) $e^i^\pi^/^4$ . Réponse

Q3 : $sqrt{2}e^i^\pi ^/^4$ a pour notation cartésienne

Q4 : $e^i^x+e^-^i^x$ est un

Q5 : Le nombre complexe $-2e^i^\pi^/^2$ a pour module

et pour argument

Q6 : Soit O l'origine du plan complexe. Pour tout z différent de 0 le triangle OM(z)M'( $e^i^\pi^/^2z$ )est

et

Q7 : Soit le point M d'affixe z et M' d'affixe z'= 3 $e^i^\pi^/^4 z$ . On passe de M à M' par une d'angle pi/4

suivi d'une homothétie de rapport .

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