Nombres premiers - cours

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Comment détecter un nombre premier ?

I. Un peu d'histoire

Même si les premières traces de la découverte des nombres premiers remontent à plus de 20 000 ans (Peut-être même avant l'invention de l'alphabet !), les premiers écrits certifiés sur les nombres premiers datent d'environ 3 siècles avant Jésus-Christ. Euclide (-325/-265) a essayé de répertorier les nombres premiers.

On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers. Mais ils n'ont pas encore livré tous leurs secrets.

II. Définition

Un nombre premier est un nombre entier naturel (non nul) qui admet exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.

En d'autres termes c'est un nombre entier ('sans virgule'), plus grand que 1, et qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même.

Exemple : Le nombre 5.

On ne peut diviser ce nombre que par 1 et 5 (lui-même) si on veut obtenir un nombre entier (c'est-à-dire sans virgule).

On a : 5/1 = 5 et 5/5 = 1

Note : la plupart des nombres sont divisibles par d'autres nombres qu'eux-mêmes et 1 :

12/3 = 4 ; 22/11 = 2 ; ...

Mais un nombre premier ne peut être multiple d'autre chose que 1 et lui-même :

Reprenons 5, si on le divise par 2 on obtient 2,5 ; mais 2,5 n'est pas un nombre entier. Vous pouvez essayer de le diviser par d'autres nombres...5 n'est divisible que par 1 et par 5.

III. Quelques nombres premiers

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,...,73,79,83,...

Il existe une infinité de nombres premiers. Pour les reconnaître il faut tout d'abord connaître vos critères de divisibilité.

Petit rappel :

a) Savoir si un nombre est divisible par 2 :

Regarder le dernier chiffre du nombre : le nombre est divisible par deux si, et seulement s'il s'agit de 0,2,4,6 ou 8 (si le nombre est pair) ; .

657 326 : le dernier chiffre est 6, le nombre est donc divisible par 2.

254 489 : le dernier chiffre est 9, le nombre n'est donc pas divisible par deux.

b)  Savoir si un nombre est divisible par 3 :

Calculer la somme des chiffres du nombre, le nombre est divisible par 3 si, et seulement si cette somme est divisible par 3

111 111 111 : la somme est 9, et 9 est divisible par 3 (9/3 = 3), le nombre est donc divisible par 3

112 111 111 : la somme est 10, et 10 n'est pas divisible par 3, le nombre n'est donc pas divisible par 3.

c) Savoir si un nombre est divisible par 4 :

le nombre est divisible par 4 si, et seulement si, le nombre formé par les deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.

84 312 ==> 12 est divisible par 4 (12/4 = 3), 84 312 est donc divisible par 4.

4 882 ==> 82 n'est pas divisible par 4, 4 882 n'est donc pas divisible par 4.

d) Savoir si un nombre est divisible par 5 :

Regarder le dernier chiffre, le nombre est divisible par 5 si, et seulement s'il s'agit de 0 ou 5

4 895 : le dernier chiffre est 5, le nombre est donc divisible par 5.

78 524 : le dernier chiffre est 4, le nombre n'est donc pas divisible par 5.

Entraînez-vous ! Les nombres suivants sont-ils premiers ?