Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°79963 : Limites de fonction - cours de maths (mathématiques)

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Limites de fonction - cours de maths (mathématiques)

Limite d’une fonction en un point

DEFINITIONS.

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage de $x_{0}$ : $\exists \alpha > 0$ , tel que : $] x_{0} - \alpha; x_{0} + \alpha [$ - $x_{0}$

est inclus dans le domaine de définition de $f$ .

Soit $l$ un nombre réel.

-On dit que $f\left(x \right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $x_{0}$ et on écrit : $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = l$ Si et seulement si

$\forall\varepsilon > 0$ , $\exists \alpha >0$ , telle que : $\left|x-x_{0} \right| < \alpha \Rightarrow \left|f \left(x \right) - l\right| < \varepsilon$ .

-On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ Si et seulement si $f$ est définie en $x_{0}$ et $\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f\left(x_{0} \right)$ .

-On dit que $f\left(x \right)$ tend vers $+\infty$ (respectivement vers $-\infty$ ) quand $x$ tend vers $x_{0}$ et on écrit :

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = +\infty$ (respectivement = $-\infty$ ) Si et seulement si

$\forall A > 0 , \exists \alpha >0$ tel que : $\left|x-x_{0} \right| < \alpha \Rightarrow A < f(x)$ (respectivement $f\left(x \right) < -A$ ).

-Se définit de la même façon la limite de $f\left(x \right)$ à droite (respectivement à gauche) en $x_{0}$ ;

sauf dans les définitions précédentes; on remplace $x_{0}-\alpha < x < x_{0}+\alpha$ par :

$x_{0} < x < x_{0}+\alpha$ (respectivement $x_{0}-\alpha < x < x_{0}$ ) .

Limite d’une fonction en $\blue +\infty$ et $\blue -\infty$

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ):

il existe un nombre réel $A$ > 0, tel que :

] $A$ ; $+\infty$ [ (respectivement ] $-\infty$ ;- $A$ [) est inclus dans le domaine de définition de $f$ .

Soit l un nombre réel.

-On dit que $f\left(x \right)$ tend vers $l$ quand x tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$ ) et on écrit : $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l$

(respectivement $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l$ ) si et seulement si

$\forall \varepsilon > 0 , \exists A > 0$ tel que : $A < x \Rightarrow \left|f \left(x \right) - l\right| < \varepsilon$ (respectivement $x < -A \Rightarrow \left|f \left(x \right) - l\right| < \varepsilon$ ).

-On dit que $f\left(x \right)$ tend vers $+\infty$ (respectivement vers $-\infty$ ) quand x tend vers $+\infty$ et on écrit :

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$ (respectivement = $-\infty$ ) si et seulement si

$\forall B > 0 , \exists A > 0$ tel que : $A< x \Rightarrow B < f(x)$ (respectivement $f(x) < -B$ ).

-On dit que $f\left(x \right)$ tend vers $+\infty$ (respectivement vers $-\infty$ ) quand x tend vers $-\infty$ et on écrit : $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$

(respectivement = $-\infty$ ) si et seulement si

$\forall B > 0 , \exists A > 0$ tel que : $x < -A \Rightarrow B < f(x)$ (respectivement $f(x) < -B$ ).

PROPRIETES

*Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies au voisinage d'un point $x_{0}$ , $\lambda$ un nombre réel; alors:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} \lambda f(x) = \lambda \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} (g+f)(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) + \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} (g* f)(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) * \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}} (g/ f)(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) / \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x).$

*Si $h$ est une fonction définie au voisinage de $x_{0}$ et $k$ est une fonction définie au voisinage de $l$ alors:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}h(x) = l \Rightarrow$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left(k\circ h(x) \right) = \lim_{y\rightarrow l}k(y)$ .

Voici des fonctions numériques pour lesquelles on cherchera les limites.

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1. f(x)= a où a est un nombre réel alors: quand x--->+l'inf. f(x)--->

2. Soit la fonction définie par : f(x)= 2x²-x+1 alors: quand x--->-1 f(x)--->

3. Soit la fonction définie par : f(x)=(2x-1)/(3-x) alors:quand x--->3^+. f(x)--->

4. Soit la fonction définie par : f(x)=Ln(x+1) alors: quand x--->0. f(x)--->

5. Soit la fonction définie par : f(x)= (3x²+x-1)/(4+x) alors: quand x--->-l'inf. f(x)--->

6. Soit la fonction définie par : f(x)=x/(x-2)² alors: quand x--->2. f(x)--->

7. Soit la fonction définie par : f(x)=sin6x/3x alors: quand x--->0. f(x)--->

8. Soit la fonction définie par : f(x)= x Ln(Ln(x)) alors: quand x--->1. f(x)--->

9. Soit la fonction définie par : f(x)= 2xe^-(x-2) alors: quand x----> +inf ;f(x) ----->

10. Soit la fonction définie par : f(x)= (cosx - 1)/x alors: quand x--->0. f(x)--->

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