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Intervalles et ensembles de nombres
Leçon :
I - Les ensembles de nombres
Pour lister un ensemble de nombres 'isolés' les uns des autres, on utilise des accolades { } :
→ L'ensemble des nombres entiers s'écrivant à l'aide d'un chiffre s'écrit {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
→ L'ensemble des nombres entiers pairs et positifs s'écrit { 0; 2; 4; 6; 8; ...; 102; 104; 106; ...}
Les intervalles. Exemples :
→ L'ensemble des nombres réels compris entre 5 et 7, est un intervalle et cet intervalle s'écrit : [5;7] note: Les crochets sont fermés pour indiquer que 5 et 7 appartiennent à l'intervalle.
→ L'ensemble des nombres réels strictement compris en 5 et 7, s'écrit : ]5;7[ note: Les crochets sont ouverts pour indiquer que 5 et 7 ne sont pas compris dans l'intervalle.
→ L'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à -2, est un intervalle qui s'écrit : [-2 ; +∞[ note: -2 est compris dans l'intervalle donc le crochet est fermé en-2; en revanche +∞ n'est pas un nombre et le crochet est ouvert (+∞ signifie 'infini vers les nombres positifs').
→ L'ensemble des nombres strictement inférieurs à 3, est un intervalle qui s'écrit : ]-∞ ; 3[ note: -∞ signifie 'l'infini vers les négatifs', ce n'est pas un nombre et le crochet est ouvert. 3 n'appartient pas à l'intervalle, il y a donc un crochet ouvert en 3.
Ensembles particuliers
- N désigne l'ensemble des nombres entiers naturels, on peut les lister et écrire : N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}.
- Z désigne l'ensemble des nombres relatifs, on peut les lister et écrire: Z = {... ; -2; -1; 0; 1; 2; ...}.
- D désigne l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire des nombres qui sont soit des entiers, soit des quotients d'entiers par une puissance de 10; sous forme décimale, ils ont un nombre fini de chiffres derrière la virgule. On peut décrire l'ensemble et écrire D = { x × 10n où x et n sont des entiers relatifs }.
- Q désigne l'ensemble des nombres rationnels, ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de quotient de deux entiers relatifs. On peut décrire l'ensemble et écrire Q = {x/y avec x et y entiers relatifs et avec y ≠ 0 }
- R désigne l'ensemble des réels, c'est-à-dire tous les nombres associés à un point de la droite réelle.
II - Réunion, intersection, inclusion
I et J désignent deux ensembles de nombres réels
- L'intersection de deux ensembles I et J, notée I ∩ J est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à I ET à J
- La réunion ou l'union des ensembles I et J, notée I U J, est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à I OU à J.
- Inclusion On dit que I est inclus dans J et on écrit I ⊂ J lorsque tous les éléments de I appartiennent aussi à J.
Exemples :
→ N ⊂ Z
→ Z ⊂ D par exemple -2.12 s'écrit aussi sous la forme -212 ×10-2 et 2 s'écrit 2= 2 × 100.
→ D ⊂ Q par exemple -5,7896=-57896 ×10-4 s'écrit aussi sous la forme d'un quotient de deux entiers -57896/10000.
→ Q ⊂ R
On peut aussi écrire : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
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