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Injectivité, surjectivité, bijection d'applications

Rappels :

Dans ce qui suit, lorsque l'on dit 'f est une fonction de E dans F', on sous-entend que 'f est définie sur E' et que 'les images des réels de E appartiennent à F'. En particulier, tout nombre de E admet une image unique dans F.

1. Injectivité

Définition: Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent dans E.

2. Surjectivité

Définition: une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E.

3. Bijection

Définition: une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si tout élément de F possède exactement un antécédent dans E

Théorème:

une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si f est à la fois injective et surjective

Ce test est basé sur certaines fonctions bien connues à ce niveau.

On notera R+ l'ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à zéro et R* l'ensemble des réels non nuls.

R^n est l'ensemble des n-uplets réels.

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La fonction R² -> R, (x;y) -> f(x,y)=2x+3y est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction R² -> R², (x; y) -> f(x,y)=(x,y) est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction [-pi/2;pi/2] -> [-1;1], x -> sin x, est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction [0;pi] -> [-1;1], x -> sin x, est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction R -> R+, x -> exp(x), est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction R->]0;+inf[, x -> exp(x), est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction [-1;1] -> [-pi/2;pi/2], x -> arcsin x, est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction [-1;1] -> [0;pi], x-> arccos x, est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction logarithme népérien, ]0;+inf[ -> R, x-> ln x, est bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas

La fonction définie de R^n dans R^n par f(x0,x1,....,xn)=(x0,x1,.....,xn) bijectiveinjective et non surjectiveni injective, ni surjectivesurjective et non injective Je ne sais pas