Inéquations du second degré (2)

Exemple de résolution d'inéquation du second degré où le discriminant est nul:

 4x² - 64x + 256 < 0

étape 1: On s'aperçoit que les coefficients sont divisibles par 4. Alors on met 4 en facteur.

4(x²-16x+64) < 0

Or le nombre 4 est positif non nul, on en déduit qu'il suffit de résoudre: x²-16x+64 < 0

étape 2 : On reconnait le développement de (x-8)²

On en déduit que l'inéquation proposée est équivalente à (x-8)² < 0

Remarque: si on n'avait pas vu que l'on pouvait facilement factoriser à l'aide de l'identité a²+2ab+b²=(a+b)², on aurait pu calculer le discriminant et on aurait obtenu un discriminant nul.

Théorème: Lorsque le discriminant est nul, on peut factoriser ax²+bx+c sous la forme a(x-x1)² où x1 est l'unique racine réelle du polynôme. Alors le nombre ax²+bx+c=a(x-x1)² est un nombre réel positif ou nul; ce nombre est nul lorsque x=x1.

conclusion : le polynôme (x-8)² est POSITIF ou NUL quelle que soit la valeur de x (dans IR) et (x-8)² est NUL lorsque x=8 

étape 3: Résolution de l'inéquation 4x² - 64x + 256 < 0

4x²-64x+256 = 4 (x-8)² n'est jamais strictement négatif dans IR; donc l'inéquation n'a pas de solution réelle

L'ensemble des solutions de 4x²-64x+256 < 0 est l'ensemble vide, soit Ø

Autres inéquations:

• L'ensemble des solutions de  4x² - 64x + 256 ≥ 0 est l'ensemble ]-∞ ; +∞ [= IR    
• L'ensemble des solutions de 4x² - 64x + 256 > 0 est l'ensemble ]-∞ ; 8[U]8; +∞ [=IR-(8)
• L'ensemble des solutions de 4x² - 64x + 256 ≤ 0 est l'ensemble (8)

Exemple de résolution d'inéquation du second degré où le discriminant est strictement négatif 2x² + 4x + 3≥ 0

étape 1 : on donne a, b, c coefficients du polynôme ax²+bx+c

a=2, b=4 et c=3

étape 2 :  signe de a = POSITIF 

étape 3 : calcul du discriminant : Δ= b² - 4ac

Δ=16 - 4.2.3 = 16-24 = -8

étape 4 : Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'admet pas de racines réelles et le signe de ax²+bx+
c est dans ce cas toujours du signe de a (quelle que soit la valeur du nombre réel x)

Conclusion : le nombre 2x²+4x+3 > 0 pour tout réel x

• l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x² +4x + 3 > 0 est  IR 
• l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x² +4x + 3 ≥ 0 est  IR
• l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x²+4x+3 < 0 est l'ensemble vide Ø
• l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x²+4x+3 ≤ 0 est l'ensemble vide Ø