Identités remarquables : développement et factorisation - cours

Les identités remarquables (3e)

Elles sont très utiles pour développer ou factoriser des expressions littérales rapidement.

Il faut les connaître dans les 2 sens .

1) Carré d'une somme

(a+b)² = a² + 2 × a × b + b² ; noté aussi : (a+b)² = a² + 2ab + b²

a² + b² : somme des carrés

2 × a × b ou 2ab : double produit

Exemples

Développement : (3y + 1)² = (3y)² + 2 × 3y × 1 + 1² = 9y² + 6y + 1
Ici le calcul est détaillé mais le but est de le réussir sans l'étape intermédiaire.

Factorisation : y² + 10y + 25 = y² + 2 × y × 5 + 5² = (y + 5)²
Ici, c'est pareil, on doit y arriver sans l'étape intermédiaire.

2) Carré d'une différence

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Rappel : on n'est pas obligé de mettre un signe multiplié devant une lettre ou des parenthèses

ainsi 2ab = 2 × a × b

Exemples :

Développement : (3y - 1)² = 9y² - 6y + 1

Factorisation : y² - 10y + 25 = (y - 5)²

3) Produit de la somme par la différence

(a + b) (a - b) = a² - b²

Faites attention aux signes 'moins' placés dans la formule, j'aurais très bien pu écrire la formule comme ceci :

(-b + a) (b + a) = -b² + a² ...

Exemples :

Développement : (3y + 1) (3y - 1) = 9y² - 1 ; (-5y + 1) (5y + 1) = - 25y² + 1 = 1 - 25y².

(-2y + 9) (2y - 9) cette expression ne peut pas être développée par l'identité remarquable (a-b)(a+b)=a²-b² car il y a un signe 'moins' dans chaque facteur.

• On peut utiliser l'identité apprise en 4e à ne pas oublier :

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc +bd.

Ainsi : (-2y + 9) (2y - 9) = -4y² + 18y + 18y - 81 = -4y² + 36y - 81.

• On peut aussi remarquer que le facteur (-2y + 9) est l'opposé de (2y - 9)

puis on utilise l'identité (a - b)² = a² - 2ab + b².

Ainsi : (-2y + 9) (2y - 9) =-(2y-9)(2y-9)=-(4y²-36y+81)= -4y² + 36y - 81.

Factorisation : y² - 25 = y² - 5² = (y + 5) (y - 5);

4t² - (t-1)² = (2t)² - (t-1)² = ( 2t- (t-1) ) ( 2t + t-1) = (t + 1) (3t - 1)

Reconnaitre la différence de deux carrés pour factoriser à l'aide de a² - b² = (a - b)(a + b)

Il n'y a pas d'identité remarquable permettant de factoriser a² + b² mais attention, si l'expression donnée est du type ' -b² + a² ' ,
on pourrait la factoriser car : -b² + a² = a² - b²

Voilà, j'espère que vous réussirez le test ! Choisissez la bonne réponse.