Exercice de spé maths, matrices

Exercice de spé maths, matrices
Message de caroo6740 posté le 18-04-2017 à 14:33:32 (S | E | F)
Bonjour voici mon dm de spé maths que je n'arrive pas à terminer depuis deux semaines. Je pense que ça pourrait plaire ceux qui aiment le décodage et j'ai fortement besoin d'aide. Merci d'avance !
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Modifié par caroo6740 le 18-04-2017 14:57

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Réponse : Exercice de spé maths, matrices de puente17, postée le 19-04-2017 à 17:28:20 (S | E)
Bonjour,

Merci pour ces vieux souvenirs d'il y a 50 ans
Je pense qu'il est utile d'avoir Bezout en tête ça aide pour déterminer les éléments inversibles d'un anneau.Sans logiciel à ma disposicion je suis un peu limité sur le plan numérique, mais comme je n'ai pas l'intention de coder le petit Robert...
inv de 41 = 7
inv (A) = 7* (8;-3 /-5; 7)
Je vous laisse faire les vérifications pour la suite mais la réponse c'est le cri d'Archimède dans sa baignoire, et ça c'est rassurant pour les calculs .
Pour la question suivante la non inversibilité provient du fait que 26 = 2x13 et donc il n'y aura pas d'inverse pour k...
Je n'ai pas cherché le C mais:

A x (21; 0 / 11; 3) = (5; 8 / 24; 17) et en vérifiant que l'on traite de matrices inversibles car les det. sont premiers avec 26 ....

Attention, vérifiez tous mes calculs, mais avec Archimède comme témoin les risques sont minimes.

Bon courage

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Réponse : Exercice de spé maths, matrices de caroo6740, postée le 20-04-2017 à 08:27:01 (S | E)
Merci beaucoup ! J'ai réussi jusqu'à la fin mais j'ai du mal à réussir la dernière question C 🙁

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Modifié par caroo6740 le 20-04-2017 10:32

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Réponse : Exercice de spé maths, matrices de puente17, postée le 20-04-2017 à 11:10:30 (S | E)
Bonjour,

Je ne vois pas où est le problème,


A x (21; 0 / 11; 3) = (5; 8 / 24; 17) et en vérifiant que l'on traite de matrices inversibles car les det. sont premiers avec 26 ....

Ax B = C et det(B) = 11 (mod 26)
Pgcd(11;26) = 1 donc B inversible dans (Z/26Z)^4 d'ou A = C x B^(-1)
à moins d'une grosse incompréhension de ma part...

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Réponse : Exercice de spé maths, matrices de caroo6740, postée le 20-04-2017 à 21:35:09 (S | E)
En fait, je ne sais pas pourquoi on doit vérifier que pgcd(11,26) = 1 pour que B soit inversible...
Et comment peut-on trouvé B^(-1) ?

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Réponse : Exercice de spé maths, matrices de puente17, postée le 21-04-2017 à 16:44:58 (S | E)
bonjour,
Revoyez le calcul de l'inverse d'une matrice 2x2 dans R, il faut et il suffit que son déterminant soit inversible (donc dans le cas de R : différent de zéro car R est un corps)
vous avez une bonne partie des explications en sous-entendu dans votre texte.
la curiosité du problème provient du fait que Z/26Z est un anneau mais pas un corps car 26 n'est pas premier et donc certains éléments ne sont pas inversibles, or pour inverser une matrice on a besoin de l'inverse de son déterminant (voir cours sur l'inverse des matrices) les calculs sont simples pour une matrice 2x2.
le déterminant de B c'est 11, il est premier avec 26 et donc il est inversible dans l'anneau Z/26Z , on pourra donc inverser B, d'où le calcul de A.
Remarque. D'après le th. de Bezout on sait qu'il existe (m,n) dans Z² tel que 11xm+26xn = 1. Par exemple : 11x19 + 26x(-8) = 1 ce qui signifie que 19 est l'inverse de 11 dans Z/26Z

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