Fonction Polynomiale

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Fonction Polynomiale
Message de yann06 posté le 08-09-2016 à 12:09:52 (S | E | F)
Bonjour à tous , à toutes

voici l'énoncé
1.soit le Polynôme P(x) = x³-x²-80x+300 , conjecturer le nombre de racines de ce polynôme
expliquer la méthode
2. Développer et reduire l'expression (x-5 ) (ax² +bx +c)
3. en déduire l'existence de 3 réels a ,b et c tel que pour tout réel x
P(x) = (x-5)(ax²+bx+c)
4. montrer que x² +4x-60 = (x+2 )² -64

réponse question 1
un polynome de degré n (exposant le plus élevé des X) a au maximum n racines
par contre le fait de répondre a au plus n racines ne répond pas vraiment à la question ou l'on me demande le nombre de solutions

réponse à la question 2
j'utilise la distributivité
(x-5) (ax² +bx +c) = (ax³ + bx² +cx ) ( -5x²-5 bx -5c)

par contre je n'arrive pas à aller plus loin

réponse à la question 4
montrer que x² + 4x - 60 = (x+2) ² -64

on sait que (x + 2 )² = x² +4x +4
x² + 4x + 4 - 64 = x² +4 x -60
donc je peux écrire (x +2 )² - 64 = x² +4x -60
est ce que c'est ça?

ou alors il faut factoriser le membre de droite
avec a² - b² = (a + b) (a - b)
((x² +2) + 8 ² ) ((x²+2) - 8 ²)

est ce que vous pouvez m'aider, s'il vous plait ??
sans rédiger l'exercice ,puisque ça ne m'aiderait pas à progresser

Réponse : Fonction Polynomiale de papjo30, postée le 08-09-2016 à 16:14:33 (S | E)
Bonjour
A la question 2 vous distribuez mal (si je peux me permettre),au second membre vous devez obtenir une somme de terme...ranger la par puissances décroissantes
Vous pourrez alors identifier avec P(x) et trouver a,b et c évidemment 1 ,4 et 60
Bonne continuation

Réponse : Fonction Polynomiale de puente17, postée le 08-09-2016 à 18:48:25 (S | E)
Bonjour,
La question est un peu vague demandent-ils le nombre exacte ou les possibilités à priori.
dans le 2ième cas vous y avez répondu partiellement,
comme le poly. est du troisième degré il a au moins une racine, pourquoi? (pensez à la continuité et aux limites en +l'infini et -l'infini. donc: n€[1,3]
Pour affiner (je ne l'ai pas fait entièrement) vous pouvez essayer d'étudier ces variations en utilisant la dérivée et voir l'allure de la courbe (faire un tableau de variation), de nos jours on dispose de calculettes graphiques qui ne prouvent rien mais nous aide quand même à savoir dans quelle direction chercher. reste ensuite à justifier.
il suffit, aprés avoir jeté un œil au graphique, de donner u et v avec u plus petit que v et l'image de u positive et celle de v négative. je vous laisse deviner pourquoi.
Les autres questions sont faites pour vous aider à factoriser ce polynôme pour résoudre l'équation et sans passer par le calcul du discriminant 'delta' du facteur du second degré.

bon courage.

Réponse : Fonction Polynomiale de yann06, postée le 11-09-2016 à 12:48:25 (S | E)
(x-5) (ax² +bx +c) = ( ax³ + bx² +cx ) ( -5x²-5 bx -5c)
= ax³ + bx² -5x ² + cx - 5 bx -5c
= ax³ + x² (b - 5) + x ( c - 5 b ) - 5c

Réponse : Fonction Polynomiale de papjo30, postée le 11-09-2016 à 13:46:59 (S | E)
Bien c'est correct!
Vous identifiez alors avec P(x)donc
a=1 ,b-5a=-1 ...... et vous calculez b et c et c'est presque fini.
Bon courage

Réponse : Fonction Polynomiale de yann06, postée le 11-09-2016 à 14:53:06 (S | E)
Bonjour monsieur
et merci d'être revenu
c'est très gentil à vous
j'espère que vous passez un bon dimanche après midi!!!

trouver 3 nombres réel a b et c tel que pour tout réel x
p(x) = (x-5)(ax²+bx+c)

et si P(x) = x³-x²-80x+300

alors x³-x²-80x+300 = (x-5) (ax²+bx+c)
x³-x²-80x+300 = a x³ + x² ( b - 5) + x ( c-5b ) - 5c

on a une égalité c'est bien ça???

Réponse : Fonction Polynomiale de yann06, postée le 11-09-2016 à 14:56:34 (S | E)
x³-x²-80x+300 = a x³ + x² ( b - 5) + x ( c-5b ) - 5c

x³ = a x³

a = x³ / - x³

on fait passer x³ de l'autre coté donc ça devient diviser par - x³
mais je ne vois pas comment on trouve a = 1

Réponse : Fonction Polynomiale de papjo30, postée le 11-09-2016 à 16:09:08 (S | E)
Non,non quand on multiplie ou divise en changeant de membre le signe ne change pas!c'est seulement lorsque que l'on ajoute ou retranche
par exemple si 3x=1 alors x=1/3 par contre si 3+x=1 alors x=1-3=2
je vous aide encore un peu:
donc a=1 puis b-5a=-1 donc b=-1+5a= 4 et ....
A vous de jouer!

Réponse : Fonction Polynomiale de yann06, postée le 11-09-2016 à 18:59:32 (S | E)
quand je développe (x-5) (ax²+bx+c)
je trouve ( ax³ + bx² +cx ) ( -5x²-5 bx -5c)

puis je regroupe par puissance
d'abord x³ puis x²

et j'obtiens a x³ + x² ( b - 5) + x ( c-5b ) - 5c

je ne vois pas de b-5a=-1

on peut écrire l'égalité x³-x²-80x+300 = a x³ + x² ( b - 5) + x ( c-5b ) - 5c
puisque d'après l'énoncé P(x) = (x-5)(ax²+bx+c)

Réponse : Fonction Polynomiale de papjo30, postée le 11-09-2016 à 20:31:37 (S | E)
Si vous vérifiez votre distribution vous trouverez 2 termes en x au carré celui obtenu en multipliant x par bx et celui obtenu en multipliant -5 par ax^2.Je suppose que vous avez "loupé" le a
Bonne continuation

Réponse : Fonction Polynomiale de yann06, postée le 11-09-2016 à 22:08:54 (S | E)
Merci d'avoir passé du temps avec moi

je vous souhaite une bonne semaine

merci encore

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