Récurrence !
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Message de nina96 posté le 03-12-2015 à 06:40:17 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis en première année mathématiques universitaire et je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Montrer que: n^3 supérieur ou égal n^2 + n+ 1
cette assertion est vraie à partir de n sup à 2.
Je n'arrive pas à le démontrer avec récurrence : . Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Merci à tous !
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Modifié par bridg le 03-12-2015 07:44
Message de nina96 posté le 03-12-2015 à 06:40:17 (S | E | F)
Bonjour,
Je suis en première année mathématiques universitaire et je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Montrer que: n^3 supérieur ou égal n^2 + n+ 1
cette assertion est vraie à partir de n sup à 2.
Je n'arrive pas à le démontrer avec récurrence : . Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Merci à tous !
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Modifié par bridg le 03-12-2015 07:44
Réponse: Récurrence ! de snow369, postée le 03-12-2015 à 10:41:37 (S | E)
bonjour,
je suis en premier année universitaire aussi
alors pour l'exercice je vais vous donne un clé et a vous de trouver la reponce
alors tu va utiliser Le raisonnement par récurrence
n=2
.
.
.
.
.
alors après trouver que le résultat
tu vas avoir comme donne n^3 supérieur ou égal n^2 + n+ 1
maintenant il faut prouve que (n+1)^3 supérieur ou égal (n+1)^2 + (n+1)+ 1
alors pour prouve que A est supérieur a B
IL FAUT PROUVER QUE a-b est supérieur a 0
bon chance
bonne journé,
Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 03-12-2015 à 15:16:52 (S | E)
Bonjour nina96,
Ainsi que l'écrit snow369, il faut utiliser le raisonnement par récurrence :
On prend un point de départ,
dans ce cas n = 2, qui vérifie l'inégalité (un petit calcul pour en être sûre))
puis on va supposer que l'inégalité est valable pour un entier n et voir ce qu'il se passe pour l'entier suivant c'est-à-dire (n+1)
si cela est vrai, on peut passer de n à n+1 à n+2 ainsi de suite et en prenant n=2 nous aurons vérifier l'inégalité pour tout n ≥ 2
Y' a plus qu'à !
...
Après il donne une méthode :
au lieu de calculer que a ≥ b, on cherche à montrer que a-b ≥ 0
c'est-à-dire que on calcule (n-1)3 - (n+)² - (n+1) - 1 (expression pour n+1)
sachant que n3 - n² - n - 1 ≥ 0 (inégalité pour n considérée comme vraie)
et on doit prouver que cette expression est positive ou nulle.
Commencez les calculs, à plus tard...
Fransoise
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Modifié par fransoise le 03-12-2015 15:17
Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 03-12-2015 à 17:22:02 (S | E)
bonsoir, merci pour vos réponses.
voici ce que j'ai trouvé: n^3 + 2n^2 - 2 sup à 0
je n'arrive pas à trouver le nombre remarquable pour que je puisse écrire l'expression sous cette forme: (n-n')(an^2+bn+c) avec n' la solution évidente.
pourriez-vous m'aider?
Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 03-12-2015 à 21:44:48 (S | E)
Bonsoir nina96
Bien vous avez donc calculé
(n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 = n3 + 2n² - 1 (A)
à ce moment, il faut utiliser ce que l'on sait de n3
c'est-à-dire n3 ≥ n² + n + 1
Dans (A) cela donne
(n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ (n² + n + 1) + 2n² - 1
on simplifie et ensuite on se rappelle que n ≥ 2 > 0
on en déduit des inégalités pour n² et autres... que l'on reporte dans (A)
Fransoise
Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 04-12-2015 à 17:12:44 (S | E)
bonsoir,
alors ça donnera: (n+1)^3 - (n+1)^2 - (n+1) - 1 sup ou égal à 3n^2 + n
et comme on a l'expression n^3 sup n^2 + n+ 1 est vrai que si n sup ou égal à 2
alors 3n^2 + n est sup à 0
donc P(n+1) est vérifiée
est-ce valable??
mille mercis
Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 04-12-2015 à 18:35:23 (S | E)
Bonjour nina96,
Pas exactement, vous avez bien trouvé que
(n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ 3n² + n
Maintenant il faut borner inférieurement 3n² + n
Souvenez-vous n ≥ 2
donc n² ≥ 2 ≥ 0
ensuite 3n² ≥ ...
d'où 3n² + n ≥ ...
donc (n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ 3n² + n ≥ ...
à ce moment on peut conclure
Il faut bien dissocier :
- les hypothèses, ce qui est posé, admis comme vrai
- des conclusions, ce que l'on cherche, que l'on doit démontrer.
Bon week-end
Fransoise
Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 04-12-2015 à 18:54:34 (S | E)
donc je ne peux juste l'affirmer comme ça, d'accord je vois. merci encore Mme Françoise
bon week-end à vous aussi
Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 04-12-2015 à 20:51:58 (S | E)
Bonsoir nina96,
Quand vous aurez remplacez les ... par des valeurs constantes et indépendantes de n, vous aurez donc une inégalité qui prouvera que P(n+1) est vraie.
N'oubliez pas, on n'affirme pas, on démontre
Fransoise
Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 06-12-2015 à 17:56:34 (S | E)
bonsoir, c'est encore moi
voilà, après avoir fini de faire la démonstration, je me rend compte que si je met n sup= à 2 sup à 0
donc 3n^2 + n -1 sup= à 13 sup strictement à 0
au final j'aurais bien (n+1)^3 sup strictement à (n+1)^2 + (n+1) + 1
or, P(n) c'est une inégalité large..
aussi, un camarade m'a montré sa démonstration:
n^3 sup= n^2 + n+ 1
d'oû n^3 sup= (n+1)^2 -1
en posant n=n+1, j'obtiens:
(n+1)^3 sup= (n+1)^2 +(n+1) +1......P(n+1)
je voudrais savoir si mon raisonnement reste juste, ou pas..
Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 06-12-2015 à 18:32:27 (S | E)
Bonjour,
Une remarque si a > 0 alors a ≥ 0
c'est le contraire qui est faux !
donc si P(n) > 0 forcément P(n) ≥ 0
quand à la démonstration qui suit, j'ai du mal à trouver sa logique (ce qui ne veut bien sûr pas dire qu'il n'y en a pas !)
Bonne soirée.
Fransoise
Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 06-12-2015 à 18:38:20 (S | E)
okay, pour a je ne savais, merci encore!
bonne soirée à vous aussi
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