Géométrie et équations
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Message de clairasoma posté le 06-12-2014 à 20:28:39 (S | E | F)
bonsoir,
je suis en 2nde et j'ai un dm de maths à faire que je ne comprends pas très bien...
La première partie a déjà été résolue sur ce site (ce qui m'a bien aidé!) mais pas la deuxième.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
J'ai fait un copier coller de la première partie résolue, afin que vous compreniez le sujet:
copier coller:
Voici mon sujet et mes recherches :
Sujet :
(O ;I ;J) est un repère orthonormé du plan. On considère les points A (-1 ;0), B (b ;0) où b>0.
Le demi-cercle de diamètre [AB] situé « au-dessus » de (OI) coupe la droite (OJ) en T. On s’intéresse à la longueur OT.
1. Quelle est la nature du triangle ATB ?
2. Soit T(0 ;yT), calculer AT², TB² et AB². En déduire yT en fonction de b.
3. Application : construire à la règle et au compas un segment de longueur 7.
Mes recherches :
1. On sait que [AB] est un diamètre du demi-cercle. Or, il s’agit d’un côté du triangle, donc ce triangle est inscrit dans le cercle et son hypoténuse est [AB], donc le triangle ATB est rectangle en T.
2. AT²=[√ (xT-xA)²+(yT-yA)²] ²
AT²=(xT-xA)²+(yT-yA)²
AT²=(0-(-1))²+(yT-0)²
AT²=1+yT²
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
TB²=(b-0)²+(0+yT)² (xT = 0 car T est sur l'axe des ordonnées)
TB²=b²+yT²
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)² (en effet il s'agit bien de xA et non xa, pardon pour cette erreur)
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b+1)²
(l'identité remarquable est : (a+b)²=a²+2ab+b² donc on a :
AB²= b²+ 2xbx1 + 1²
AB²= b² + 2b +1
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
b² + 2b +1= 1+yT² + b²+yT²
b² + 2b + 1 = 1+yT² + b²+yT²
b² + 2b + 1 = 1 + b² + 2yT²
b² + 2b +1 -1 - b² = 2yT²
b² - b² +1 -1 + 2b = 2yT²
2b = 2yT²
b = yT²
√b = √yT²
√b = yT
- (OT) est perpendiculaire à (AB) car ces deux droites appartiennent respectivement à l'axe des ordonnées et à l'axe des abscisses.
D'après vos questions j'en ai déduit que OT = √b (soit √7) et OB = b (soit 7cm).
Et on sait que √b = yT donc yT = √7.
Pour obtenir cette valeur exacte V7 qui n'est autre que la longueur du segment que l'on cherche à réaliser avec précision il faut
d'abord commencer par tracer un segment [AB]tel que AB=b+1=7+1=8cm ensuite et d'après la 1ère Q on trace le demi cercle de diamètre AB
puis on prend un point O de ce segment [AB] tel que la distance de ce point O au point A soit égale à 1 cm donc OA=1cm .
Et enfin et pour situer exactement le point T qui se trouve à la distance V7 de O c'est à dire le segment de droite [OT] tel que :
OT=V7 ,il suffit simplement de tracer à partir de O la perpendiculaire à [AB],qui coupe le demi cercle au point T .
voilà pour la première partie, j'espère que c'est assez clair et que je n'aie rien oublié!
la suite du sujet que je n'arrive pas à faire:
on considère les points A(-a;0) et B(b;0) où a>0 et b>0
adapter la démonstration précédente et déterminer l'expression de yT en fonction de a et b.
indiquer ensuite plusieurs constructions à la règle et au compas d'un segment de longueur V12.
Je ne sais pas comment on fait. Pourriez vous m'aider s'il vous plait.
merci d'avance
Message de clairasoma posté le 06-12-2014 à 20:28:39 (S | E | F)
bonsoir,
je suis en 2nde et j'ai un dm de maths à faire que je ne comprends pas très bien...
La première partie a déjà été résolue sur ce site (ce qui m'a bien aidé!) mais pas la deuxième.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
J'ai fait un copier coller de la première partie résolue, afin que vous compreniez le sujet:
copier coller:
Voici mon sujet et mes recherches :
Sujet :
(O ;I ;J) est un repère orthonormé du plan. On considère les points A (-1 ;0), B (b ;0) où b>0.
Le demi-cercle de diamètre [AB] situé « au-dessus » de (OI) coupe la droite (OJ) en T. On s’intéresse à la longueur OT.
1. Quelle est la nature du triangle ATB ?
2. Soit T(0 ;yT), calculer AT², TB² et AB². En déduire yT en fonction de b.
3. Application : construire à la règle et au compas un segment de longueur 7.
Mes recherches :
1. On sait que [AB] est un diamètre du demi-cercle. Or, il s’agit d’un côté du triangle, donc ce triangle est inscrit dans le cercle et son hypoténuse est [AB], donc le triangle ATB est rectangle en T.
2. AT²=[√ (xT-xA)²+(yT-yA)²] ²
AT²=(xT-xA)²+(yT-yA)²
AT²=(0-(-1))²+(yT-0)²
AT²=1+yT²
TB²=[√ (xB-xT)²+(yB-yT)²] ²
TB²=(xB-xT)²+(yB-yT)²
TB²=(b-xT)²+(0-yT)²
TB²=(b-0)²+(0+yT)² (xT = 0 car T est sur l'axe des ordonnées)
TB²=b²+yT²
AB²=[√ (xB-xA)²+(yB-yA)²] ²
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)² (en effet il s'agit bien de xA et non xa, pardon pour cette erreur)
AB²=(b-(-1))²+(0-0)²
AB²=(b+1)²
(l'identité remarquable est : (a+b)²=a²+2ab+b² donc on a :
AB²= b²+ 2xbx1 + 1²
AB²= b² + 2b +1
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AT²+BT²
b² + 2b +1= 1+yT² + b²+yT²
b² + 2b + 1 = 1+yT² + b²+yT²
b² + 2b + 1 = 1 + b² + 2yT²
b² + 2b +1 -1 - b² = 2yT²
b² - b² +1 -1 + 2b = 2yT²
2b = 2yT²
b = yT²
√b = √yT²
√b = yT
- (OT) est perpendiculaire à (AB) car ces deux droites appartiennent respectivement à l'axe des ordonnées et à l'axe des abscisses.
D'après vos questions j'en ai déduit que OT = √b (soit √7) et OB = b (soit 7cm).
Et on sait que √b = yT donc yT = √7.
Pour obtenir cette valeur exacte V7 qui n'est autre que la longueur du segment que l'on cherche à réaliser avec précision il faut
d'abord commencer par tracer un segment [AB]tel que AB=b+1=7+1=8cm ensuite et d'après la 1ère Q on trace le demi cercle de diamètre AB
puis on prend un point O de ce segment [AB] tel que la distance de ce point O au point A soit égale à 1 cm donc OA=1cm .
Et enfin et pour situer exactement le point T qui se trouve à la distance V7 de O c'est à dire le segment de droite [OT] tel que :
OT=V7 ,il suffit simplement de tracer à partir de O la perpendiculaire à [AB],qui coupe le demi cercle au point T .
voilà pour la première partie, j'espère que c'est assez clair et que je n'aie rien oublié!
la suite du sujet que je n'arrive pas à faire:
on considère les points A(-a;0) et B(b;0) où a>0 et b>0
adapter la démonstration précédente et déterminer l'expression de yT en fonction de a et b.
indiquer ensuite plusieurs constructions à la règle et au compas d'un segment de longueur V12.
Je ne sais pas comment on fait. Pourriez vous m'aider s'il vous plait.
merci d'avance
Réponse: Géométrie et équations de herodor, postée le 08-12-2014 à 19:52:19 (S | E)
Bonjour !
Pour la première partie, tout est bon.
Pour la deuxième partie, il faut juste faire pareil, cette fois-ci avec "a" également.
C'est-à-dire qu'il faut remplacer dans toutes les formules le "1" qui correspond à xA, par "a" (ou "-a", attention aux signes)
Quand il y a marqué "plusieurs constructions", je pense qu'il s'agit de faire les deux méthodes, une fois avec "b" , et une deuxième fois avec "a" et "b".
A part ça, c'est le même raisonnement que pour "racine de 7".
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