Vérifier les conditions de Dirichlet

Bonjour,

J'ai une fonction à priori toute simple où je n'arrive pas à retrouver les bonnes valeurs de sa dérivé. La fonction f est définie sur R, est périodique de période ∏, et est définie par :

f(t)= t . (∏-t) définie sur [0;∏[

Donc f'(t)= ∏-2t
f'(t) s'annule alors pour t = ∏/2

f'(t)>0 sur ]0 ; ∏/2[
f'(t) < 0 sur ]∏/2 ; 0[
f'(t) = 0 si t=0 ou t=∏/2

f(t) est donc croissante sur ]0 ; ∏/2[ et décroissante sur ] ∏/2 ; ∏[

f(0) = f(∏) = 0
f(∏/2) = ∏²/4

Voilà, jusque là rien de compliqué, seulement dans la correction (et je n'ai malheureusement pas une correction très détaillée), on est censé trouvé :


f'(0-)=-∏
f'(0+)=∏
f'(∏-)=-∏
f'(∏+)=∏

Or forcément avec f'(t)= (∏-2t) je ne retrouve pas ces valeurs, alors je me dis qu'il faut sûrement que j'utilise le fait qu'elle soit périodique de période ∏ et donc f'(t - ∏) = f'(t+∏) = f'(t)

f'(t-∏)= ( ∏-2(t-∏) ) = ∏-2t + 2∏
f'(t-∏) = 3∏ - 2t
f'(t+∏) = - ∏ - 2t


f'(∏+ - ∏) = f'(0+)= 3∏ - 2∏+ = ∏-
f'(∏- - ∏) = f'(0-)=  3∏ - 2∏- = ∏+
f'(0+ + ∏) = f'(∏+)= -∏ - 2.0+ = -∏
f'(0- + ∏) = f'(∏-)= -∏ - 2.0- = -∏

Comme vous le voyez, je n'arrive pas à retomber sur les valeurs attendues et je me demande bien pourquoi ? Après le fait de ne pas avoir les bonnes valeurs, ce n'est pas grave en soit puisque les limites à gauche et à droite de la dérivé sont finies, que f est ∏-périodique continue et dérivable sur [0 ; ∏[ et donc les conditions de Dirichlet sont vérifiés.
N'empêche que j'aimerais bien trouver l'erreur et comprendre aussi pourquoi on cherche les limites à gauche et à droite en t = k.∏ (k appartenant à Z) de la dérivé de f puisque pour moi f'(t) est continue, ce qui fait que je ne vois pas du tout l'intérêt de calculer ses limites à gauche et à droite en t = k.∏, car cela voudrait dire qu'en t=k.∏ f'(t) est discontinue.

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

Cordialement,