Limite

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Limite
Message de kadfacile posté le 16-01-2014 à 12:29:52 (S | E | F)
Bonjour
Je bloque sur une limite.
lim(x²*e^(-x)) en +oo (+ infini)

On sait que lim(x/e^x)=0 en +oo

donc lim(x²*e^(-x))=lim(x²/e^x)=lim( (x/e^(1/2*x)² ) en +oo

le 1/2 me gène. Ou peut être ce n'est pas comme ça qu'il faut s'y prendre !

Merci pour vos commentaires

Réponse: Limite de wab51, postée le 16-01-2014 à 14:53:31 (S | E)
Bonjour kadfacile :

Ton raisonnement est parfaitement correct et tu es sur la bonne voie .Tu es déjà arrivé à écrire que $x^2.e^{-x} =\left[\frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} \right]^2$ . Il suffit maintenant de faire apparaitre le terme de $\frac{x}{2}$ dans le numérateur sachant que $x=2\times(\frac{x}{2})$ . Voilà ,maintenant c'est à toi de jouer !(pense ensuite à effectuer un changement de variable en posant $\frac{x}{2}=X$ puis applique une formule usuelle d'une limite exponentielle bien connue ? Poste tes résultats .Bon courage

Réponse: Limite de toufik1985, postée le 16-01-2014 à 14:59:25 (S | E)
Bonjour

Vous avez la fonction suivante:

$\lim_{-\infty}(x^2exp(-x))$
On sait aussi que $\lim_{-\infty}(x\exp(x))=0$
Il suffit de changer la variable, prends y=-x
bon courage

Réponse: Limite de kadfacile, postée le 17-01-2014 à 12:33:38 (S | E)
Bonjour
on pose X=x/2
donc(x/e^(1/2*x)²=(2X/e^X)²=4(X/e^X)² et lim 4(X/e^X)=0 car lim X =+oo lorsque x tend vers +oo

Merci

Réponse: Limite de wab51, postée le 17-01-2014 à 13:36:45 (S | E)
Exact! et pour etre plus rigoureux et explicite

(x/e^(1/2*x)²=(2X/e^X)²=4(X/e^X)²

$\lim_{x\rightarrow}+\infty(x^2.e^{-x})=$ $\lim_{X\rightarrow+\infty}4(\frac{X}{e^{X}})^{2}=4\lim_{X\rightarrow+\infty}(\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}})^2=0$

Bravo et félicitations .Très bonne journée

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