Développements limités
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Message de eveil posté le 06-01-2014 à 20:20:06 (S | E | F)
Message de eveil posté le 06-01-2014 à 20:20:06 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas du tout à résoudre, j'ai essayé de deux manières différentes mais en vain...
Déterminer le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f:
En déduire que le DL d'ordre 4 de la fonction Arcsin est
Premièrement je tente avec le DL de
et en posant T=-t² ==>
Donc à l'ordre 4, ça me donne :
Après je remarque que f(t)=[Arcsin(t)]' ==> F(t)=Arcsin(t)
Donc la primitive du DL à l'ordre 4 de f(t) devrait me permettre de retomber
sur le résultat recherché et ça ne fonctionne pas...
Pourquoi ? 
J'ai egalement essayé avec le DL de cos(x) en posant t=sin(x)
Mais là non plus ça ne me donne rien de satisfaisant...
Merci pour toute aide que vous seriez susceptible de m'apporter. Car là, je suis complétement bloqué...
Réponse: Développements limités de wab51, postée le 07-01-2014 à 00:53:10 (S | E)
Bonsoir éveil et bonne année
(j'avais essayé de te répondre plus tot mais j'avais échoué à chaque fois à cause de problème sur Latex ).
Ton raisonnement est logique et juste à part l'erreur faite dans l'ordre du développement de f(t) et de arcsin(t) .
1)D.L3 en 0 de f(t) est f(t)=(1-t)^(-1/2) = 1+(1/2)*t^2 + 0.(t^4)(l'ordre 3 n'existe pas dans ce développement de f(t))
2)D.L4 en 0 de F(t)=arcsin(t)= t+(1/6)*t^3 +0.(t^5) ( corrige le signe de t ,c'est t et non -t dans ce développement)
3)On en déduit que F'(t)=arcsin'(t)=1+(1/2)*t^2 = f(t) .
Bonne nuit
Réponse: Développements limités de eveil, postée le 07-01-2014 à 19:10:14 (S | E)
Merci de ton intervention Wab,
Je n'arrive pas non plus à faire fonctionner les formules latex, pas plus que je n'arrive à faire fonctionner la formule du DL de (1+x)^alpha
J'ai donc fait une impression écran et mis l'image ici :
Lien internet
Réponse: Développements limités de wab51, postée le 07-01-2014 à 22:28:45 (S | E)
Bonsoir eveil :
Désolé!depuis plus de deux jours ,le latex ne fonctionne pas !!!problème de renvoi et je ne sais toujours pas pourquoi?
1)(1+x)^α représente un exemple d'une fonction et non "une formule".
2)Pour trouver le développement limité en 0 de la fonction f(x)=(1+x)^α ,il faut utiliser la formule générale bien connue dite de Taylor pour a=0 dont je rappelle :f(x)=f(o)+f'(0)*x /1! + f"(0)*x²/2! + ... + f^n(0)*x^n/n! + 0*(x^n) (à l'ordre n)
Attention , il faut bien comprendre que f(o)(la valeur de f pour x=0)représente le D.L0 de f en 0 pour l'ordre zéro c'est à dire pour
n=0 .Donc ,ce que tu as fais en remplaçant n par 0 est fausse .
Autre anomalie (faute grave):le D.L de(1+x)^α = α(α-1)(α-2)...(α-n+1)*x^n/n!est faux ???C'est absurde et par conséquent le résultat que tu cherches à prouver serait insensé !
*Comment faire pour D.L EN 0 de f(x)=(1+x)^α :il suffit simplement d'appliquer la formule du théorème de Taylor (voir au dessus)qui est
f(x)=(1+x)^α = 1+α.x + α(α-1).x /2! + α(α-1)(α-2).x^3/3! + ... + α(α-1)(α-2)...(α-n+1)*x^n/n! + 0.(x^n)
** Sur la base de ce que j'avais expliqué précédemment
a) D.L0 de f pour l'ordre zéro c'est f(o)=(1+0)^α = 1
b) D.L2 de f pour l'ordre 2 est f(x)=(1+x)^α = 1+α.x + α(α-1).x /2!+0.(x^2)
Voilà ,j'espère que ses corrections et ses brèves explications pourront peut-être apportées plus de clarté et de compréhension .Merci
Réponse: Développements limités de eveil, postée le 08-01-2014 à 21:39:41 (S | E)
Je pensais qu'il suffisait de remplacer n par 0 pour obtenir le 1er terme du DL puis par 1 pour le deuxième terme etc. En effet j'avais remarqué que ça fonctionnait pour les quelques DL que j'avais sur le cours genre e^x, 1/(1+x), ln(1+x), sin(x) et cos(x) alors j'ai cru que c'était la règle mais ce n'était qu'une coïncidence.
De là je comprends toute l'erreur et grâce à toi je comprends désormais comment obtenir chaque terme d'un DL.
Alors je te dis mille et une fois merci car je n'aurai jamais compris tout ça tout seul
... mais malheureusement j'ai encore un léger doute sur un point.
En faisant le DL à l'ordre 4 de arcsin'(t) ==> (1-t²)^1/2 = 1 + (1/2)t² + (3/8)t^4 + t^4.epsilon(t)
Donc si je fais la primitive j'ai t + (1/6)t^3 + (3/40)t^5 + intégrale de (t^4.epsilon(t))
Comme on cherche le DL à l'ordre 4 de la fonction arcsin(t), on vire le (3/40)t^5 et l'intégrale de (t^4.epsilon(t)) qui je ne sais pas ce que ça fait mais ça devrait donner du degrés 5.
Il reste alors t + (1/6)t^3 et là comme dans tout bon développement limité on devrait lui ajouter le terme complémentaire + t^4.epsilon(t) mais on sait qu'il n'existe pas car le degrés 3 du DL d'ordre 3 de arcsin'(t) n'existe pas et donc le DL d'ordre 4 de la fonction arcsin (t) ne peut pas trouver d’existence.
Ce qui fait que le DL d'ordre 4 de la fonction arcsin(t) = t + (1/6)t^3
Est-ce que le raisonnement est correct ?
Et le fait que ce soit écrit arcsin(t) = -t + (1/6)t^3 + t^4.epsilon(t) est donc une erreur d'énoncé ?
Merci
-------------------
Modifié par eveil le 08-01-2014 21:45
Réponse: Développements limités de wab51, postée le 09-01-2014 à 00:57:02 (S | E)
Bonsoir eveil
Vraiment très content de toi !Mes remerciements et mes félicitations !
*Pour être plus rigoureux ,voilà quelques petites corrections et précisions portées en rouge
En faisant le DL à l'ordre 4 de arcsin'(t) ==> (1-t²)^-1/2 = 1 + (1/2)t² + (3/8)t^4 + t^4.epsilon(t)
Donc si je fais la primitive j'ai t + (1/6)t^3 + (3/40)t^5 + intégrale de (t^
Comme on cherche le DL à l'ordre 4 de la fonction arcsin(t), on vire le (3/40)t^5 et l'intégrale de (t^6.epsilon(t)) qui je ne sais pas ce que ça fait mais ça devrait donner du degrés 5.(un reste qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0 )
Il reste alors t + (1/6)t^3 et là comme dans tout bon développement limité on devrait lui ajouter le terme complémentaire + t^4.epsilon(t) mais on sait qu'il n'existe pas ( si ce terme existe mais il devient nul quand x=o) car le degrés 3 du DL d'ordre 3 de arcsin'(t) n'existe pas (ne pas confondre entre "n'existe pas" et "nul",ce terme existe et il est égal à 0 parce que la dérivée troisième f^3(o)=0 et 0*(x^3/3!)=0) et donc le DL d'ordre 4 de la fonction arcsin (t) ne peut pas trouver d’existence.(dire simplement que ce terme d'ordre 3 est nul)
Ce qui fait que le DL d'ordre 4 de la fonction arcsin(t) = t + (1/6)t^3
Est-ce que le raisonnement est correct ? (attention ne pas confondre entre "n'existe pas " et "nul" mais je pense que c'est clair d'après ce que j'avais explicité et justifié)
Et le fait que ce soit écrit arcsin(t) = -t + (1/6)t^3 + t^4.epsilon(t) est donc une erreur d'énoncé ? (justification exacte)
***Remarque importante :la fonction (1-t²)^(-1/2) étant une fonction paire par conséquent son D.L (sa partie principale) est aussi paire .(puissance de x à exposants pairs). Les termes en exposants de x impairs qui l'on ne porte pas (ou on ne mentionne pas)dans le D.L existent et sont simplement égalas à 0 parce que leur dérivée en 0 est nulle.
Le même cas lorsqu'il s'agit d'une fonction impaire (telle par exple sinx)son D.L(partie principale)sera aussi impaire (exposants de x impairs)
Encore une fois ,avec mes remerciements et félicitations .
et douce nuit .Réponse: Développements limités de eveil, postée le 09-01-2014 à 18:31:09 (S | E)
Merci beaucoup Wab, dans ma tête c'est pas encore aussi clair que je le voudrais mais en tout cas tes explications m'ont énormément aidé à avancer
Et bonne année à toi aussi (désolé du retard...
)Réponse: Développements limités de wab51, postée le 11-01-2014 à 19:59:12 (S | E)
Il y'a pas de quoi ,eveil!
Au cas où tu juges qu'il y'a encore des "trous noirs" ou une sorte d'insuffisance ,toujours
et avec plaisir et n'hésite pas à poster tes questions .Bon weekend .Réponse: Développements limités de webmaster, postée le 12-01-2014 à 09:34:44 (S | E)
Les formules Latex sont de retour, désolé pour ce souci
Réponse: Développements limités de wab51, postée le 12-01-2014 à 19:52:21 (S | E)
Bonsoir webmaster :
. Merci beaucoup webmaster !et pour tous les efforts que vous déployez pour le bon fonctionnement et la meilleure réussite de ce prodigieux site .Le résultat est là et tout fonctionne à merveille .C'est vraiment impeccable .Bonne soirée
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