Arccos(u) et arctan(u)

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Arccos(u) et arctan(u)
Message de eveil posté le 23-12-2013 à 21:24:35 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Comme $arccos(x)'=\frac{-1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}$ et $arctan(x)'=\frac{1}{1+x^{2}}$

Je me demandais si $arccos(u)'=\frac{-u'}{\sqrt[]{1-u^{2}}}$ et $arctan(u)'=\frac{1}{1+u^{2}}$

Merci pour vos réponses.
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Modifié par bridg le 23-12-2013 23:37
Politesse.

Réponse: Arccos(u) et arctan(u) de wab51, postée le 24-12-2013 à 03:05:03 (S | E)
Bonjour éveil : Effectivement ,tes formules sont parfaitement justes . Les deux premiers cas $\arccos(x)$ et $arctan(x)$ ne constituent qu'un cas particulier pour $u(x)=x$ et qui peuvent etre généralisés pour les résultats $\arccos[u(x)]$ et $\arctan[u(x)]$ et pour la démonstration , il faut simplement penser à "appliquer la formule de la dérivée des fonctions composées " .La dérivée de la fonction composée $h(x)=(gou)(x)=g[(u(x)]$ est h'(x)=u ' (x).g' [u(x)] ,dont la ère fonction u correspond à une fonction de x qui est u(x) et la seconde fonction g correspond à celle de arccos[u(x)] ou arctan[u(x)] . Ainsi et à titre d' exemple et pour fixer les idées $h(x)=\arccos(3x-2)$ $=g[u(x)]$ en posant $u(x)=3x-2=y$ et $g[u(x)]=\arccos[u(x)]=\arccos(y)$
$u' (x)=\frac{du(x)}{dx}=3$ et $g'[u(x)]=-\frac{1}{\sqrt[]{1-u^2}}=-\frac{1}{\sqrt[]{1-(3x-2)^2} } , d'ou h'(x)=-\frac{3}{\sqrt[]{1-(3x-2)^2}}$
Remarque : le meme résultat généralisé s'applique aussi pour le résultat de $\arcsin[u(x)]$ c'est à dire que la dérivée de $\arcsin[u(x)]$ est $\frac{u'(x)}{\sqrt[]{1-u(x)^2}}$ .

Réponse: Arccos(u) et arctan(u) de tiruxa, postée le 24-12-2013 à 07:38:45 (S | E)
Bonjour, et salut wab51
En effet ce sont des applications de la formule générale, mais éveil à oublié u' dans la dernière formule, une étourderie sans doute mais je préfère rectifier au cas où quelqu'un veuille utiliser la formule en question.
$(arc tan u)'= \frac{u'}{1+u^2}$

Réponse: Arccos(u) et arctan(u) de wab51, postée le 24-12-2013 à 10:00:14 (S | E)
Bonjour tiruxa
Une inattention,effectivement!et merci d'avoir rappelé la formule exacte .Très bonne journée et

Réponse: Arccos(u) et arctan(u) de eveil, postée le 28-12-2013 à 21:46:42 (S | E)
Merci pour vos réponses ;)
(Et merci à Bridg aussi pour avoir rectifié mon manque de délicatesse )

Il faudrait que je pense à regarder un de ces quatre la démonstration de la dérivée des fonctions composés (juste pour la culture)

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