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Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de lahcen2012 posté le 30-11-2013 à 14:02:52 (S | E | F)
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à faire cet exercice ? S'il vous plaît !
Merci d'avance !
Soit f fonction numérique tel que:
f(x)= ( (la racine de x^2-1) -2) / (x^2-4)
1) a: Déterminer le domaine de définition D
2) Montrer que : Quel que soit x appartient à DD: f(x)=(g rond h)(x)
3) Est-ce que la fonction f est croissante ou décroissant et où ?
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 30-11-2013 à 14:06:45 (S | E)
Pour le 1:
j'ai trouvé: D= x appartient à ]-l'infinie,-2[U]-2;-1]U[1;2[U]2;+l'infinie[
Pour 2 et 3 je sais pas !
Réponse: Exercices de toufa57, postée le 30-11-2013 à 14:47:46 (S | E)
Bonjour lahcen,
1)Ton Df est faux. As-tu remarqué que le dénominateur est sous forme d'une identité remarquable?
La fonction n'est pas définie pour les valeurs qui annulent ce dénominateur. Il y en a deux et non trois!!Trouve-les donc puis ré-écris ton Df.
2)D'où vient le h(x)? Retranscris ton énoncé correctement.
3)Dresse un tableau de variations pour pouvoir répondre à cette question.
Bon travail!
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 30-11-2013 à 20:10:43 (S | E)
Le Df est correct car je suppose que
Pour la question 2, je pense qu'il faut déterminer deux fonctions g et h telles que f = goh.
Il y a bien sûr plusieurs possibilités, il semble qu'il faille choisir la plus simple pour la question 3.
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 30-11-2013 à 20:18:23 (S | E)
On pourrait définir h sur Df par
et g telle que
mais l'étude des variations de g va nécessiter la recherche de sa dérivée.
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 01-12-2013 à 09:25:30 (S | E)
Bonjour c'est pas la peine de chercher la dérivée. on nous a demandé d'étudier la monotonie de g(x) sur :
]3;+l'infinie[ ; ]1;3[ / {la racine de 3}; ]0;1[
et de h(x) sur Dh.
Avec ces informations on étudie la montonie de f(x) facilement .
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 01-12-2013 à 10:18:32 (S | E)
En effet c'est faisable
Puisque f est paire on étudie seulement la partie positive du Df
Or h est croissante (par composition de deux fonctions croissante) sur [1;+inf[
Donc le sens de variation de f et de g sont les mêmes, seuls les intervalles sont à ajuster.
Cela nous amène à l'étude du sens de variation de g sur R+ (car pour tout x de Df, h(x) >=0)
Soit a et b positifs tels que a>b
Il faut comparer g(a) et g(b) en calculant g(a)-g(b)
g(a)-g(b) =
On sait que a-b>0 , si a et b sont du même côté par rapport à le dénominateur précédent est positif.
Donc tout dépend du signe de D= -ab+2a+2b-3
Utilisons une astuce
D= -ab+2a+2b-4 +1 = -(a-2)(b-2) + 1
Si a>=3 et b>=3 , a-2>=1 et b-2>=1 donc (a-2)(b-2)>=1 donc -(a-2)(b-2)<=-1 donc D<=0,
g est décroissante sur [3;+inf[
Si 1<=a<=3 et 1<=b<=3, -1<=a-2<=1 et -1<= b-2<=1 donc (a-2)(b-2)<=1 donc -(a-2)(b-2)>=-1 donc D>=0, g est croissante sur [1;[ et sur ]
;3]
De même g est décroissante sur [0;1]
Il reste à trouver pour quelles valeurs de x, h(x) = 1 puis h(x) = 3 pour rectifier les intervalles précédents.
Cela dit la dérivée est plus rapide 
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 01-12-2013 à 11:10:23 (S | E)
Bonjour;
Pour la fonction h: j'ai trouvé qu'il est croissante sur [1;+l'infinie[.
Donc quelle est la motonie de f?
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 01-12-2013 à 17:32:03 (S | E)
On nous demander d'étudier la monotonie de f sur Df inter R+
Df inter R+ =[1;2[ U ]2,+l'infinie[
g est croissante sur [1; la racine de 3[ U ] la racine de 3;3] donc elle est croissante sur [1;2[
h est croissante sur [1;+l'infinie[ donc elle est croissante sur [1;2[ ( relation 2)
Après les relations 1) et 2); f est croissante sur [1;2[
Est-ce que c'est juste ça ?
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 01-12-2013 à 17:48:00 (S | E)
On a donc pour les abscisses positives
h croissante sur [1;+inf[
g décroissante sur [0;1] croissante sur [1;[ croissante sur ]
;3] et dcroissante sur [3;+inf[
De plus g(x)=1 <=> x²-1 = 1 <=> x²=2 <=> x = (car x est positif)
de même g(x)=3 <=> x²-1 = 9 <=> x=
Premier intervalle [1;]
Si 1<=x<= on a h(1) <= h(x) <= h(
) car h croissante sur cet intervalle donc 0<= h(x) <= 1 (cela donne l'intervalle à utiliser pour g c'est à dire [0;1])
Or g est décroissante sur [0;1]
donc f est décroissante sur [1;]
de même pour les autres intervalles soit [;2[ puis ]2;
] et enfin [
;+inf[sur lesquels f est respectivement croissante, croissante et décroissante.
; "Images")
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 01-12-2013 à 18:35:39 (S | E)
Bonjour,
Tout d'abord, merci beaucoup à vous tiruxa.
Pourquoi, on a fait g(x)=1 et g(x)=3
Et pour les 3 autres intervalles ?
bonne soirée!
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 01-12-2013 à 18:43:02 (S | E)
En fait, c'est pour déterminer les intervalles à utiliser (les images réciproques par h des intervalles trouvés pour g)
En effet g change de variation pour x=1 et x=3.
Donc il s'agit de trouver pour quelle valeur de x on a h(x)=1 puis h(x) =3.
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 01-12-2013 à 18:45:29 (S | E)
Deuxième intervalle
Si <= x < 2 on a h(
) <= h(x) < h(2) donc 1 <= h(x) <
Or g est croissante sur [1;[
donc f est croissante sur [;2[
Réponse: Exercices de tiruxa, postée le 01-12-2013 à 18:50:11 (S | E)
Troisième intervalle
Si 2 < x <= on a h(2) < h(x) <= h(
) donc
< h(x) <= 3
Or g est croissante sur ];3]
donc f est croissante sur ]2;]
Quatrième intervalle
Si <= x on a h(
) <= h(x) donc 3 <= h(x)
Or g est décroissante sur [3;+inf[
donc f est décroissante sur [;+inf[
Réponse: Exercices de lahcen2012, postée le 01-12-2013 à 19:07:20 (S | E)
Merci tellement beaucoup pour vos aides et à bientôt !
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