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Message de karenmel posté le 24-11-2013 à 21:36:39 (S | E | F)
Bonjour, voici un exercice que j'ai réussi à faire. Je pense juste que je n'ai pas trouvé toutes les réponses:

Déterminer tous les couples (a,b) tels que a+b= 27 et ppcm(a,b)= 60.

J'ai trouvé le couple (12, 15). Est-ce qu'il y en a d'autres?

Merci d'avance,
Karen

Réponse: Ppcm de tiruxa, postée le 25-11-2013 à 10:32:42 (S | E)
Bonjour,

Il n'y en a pas d'autres. Voici une démonstration :

On a b = 27-a
donc ab = 27a-a²
Or ab = ppcm(a,b)*pgcd(a,b) = 60p si on pose p = pgcd(a,b)

d'où 27a-a²=60p ou encore a² -27a +60p =0

Le discriminant delta est

delta=27² - 240p =729-240p

Il est positif si p <= 243/80

p est donc inférieur ou égal à 3.

p ne peut être égal à 2, en effet on aurait a et b pairs et donc a+b pair ce qui est faux.

Si p = 1
l'équation devient a² -27a +60 =0
delta = 489 et les solutions ne sont pas entières donc ne conviennent pas.

Si p=3
l'équation devient a² -27a +180 =0
delta = 9 , il y a deux solutions 15 et 12 soit ce que tu avais trouvé.

Réponse: Ppcm de wab51, postée le 25-11-2013 à 10:46:00 (S | E)
Bonjour karenmel :
1)(12,15) n'est pas le seul couple solution ,il y'a aussi le couple (15,12) .
2)Ceci étant ,mais tu n'as pas montré comment tu as fait pour trouver ce résultat? Je précise tout de même ,et brièvement qu'au cours du raisonnement ,il est question d'utiliser le PGCD(a,b)=D ,du PPCM(a,b)=M=60 et d'utiliser deux autres propriétés relatives au PGCD et au PPCM ,pour aboutir à un système de deux équations à deux inconnues à résoudre et trouver la condition sur la valeur de D ?
Donc tout ce travail doit être donc fait pour sortir avec toutes les solutions possibles .Pour ce cas ci ,bien sur ,l'ensemble des couples solutions est :{(12,15);(15,12)}. Merci et bonne journée

Réponse: Ppcm de karenmel, postée le 25-11-2013 à 21:23:02 (S | E)
Merci pour nos réponses,

Tiruxa, j'ai suivi le début de ton raisonnement mais j'aurais une question concernant le discriminant: qu'est-ce qu'un discriminant exactement?

Réponse: Ppcm de karenmel, postée le 25-11-2013 à 21:41:48 (S | E)
Je propose:

Si b est pair, il peut être écrit sous la forme 1+2k car
-3(1+2k) = -3-6k = -1-2k

Le problème, c'est que l'expression est négative..

Réponse: Ppcm de tiruxa, postée le 26-11-2013 à 08:07:27 (S | E)
Le discriminant est en général appelé delta il est égal à b²-4ac pour l'équation ax²+bx+c=0

J'ai allégé la fin de mon précédent raisonnement, relis le, je pense que c'est plus clair.

Quand à ton dernier message je pense que c'est au sujet d'un autre exercice.

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