Exercice- Equations diophantiennes
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Message de karenmel posté le 23-11-2013 à 17:42:04 (S | E | F)
Bonjour, je prépare le Concours de Recrutement des Professeurs des Ecoles. Je bloque complètement sur un énoncé de Maths. A partir de la question 2, auriez-vous des éléments de réponses qui pourraient m'aider à avancer:
Soit (E) l'équation diophantienne 2a + 3b = 1. On note S son ensemble solution.
1. Vérifier que le couple (-1;1) est une solution particulière de (E).
2. Justifiez que si (a,b) appartient à S alors 2(x+1) = -3(y-1).
3. En déduire que 2 divise b-1 puis qu'il existe k appartient à Z tel que b= 1+2k.
4. En déduire que si (a,b) appartient à S alors il existe k appartient à Z tel que a= -1+2k.
5. Déterminer l'ensemble solution S. Faire un schéma dans un plan.
6. Résoudre par une méthode analogue l'équation 7a+4b=1.
Ce qui me perturbe, ce sont les lettres S, k, x, y: je ne vois pas d'où elles sortent et surtout à quoi elles peuvent correspondre.
Merci d'avance pour votre aide.
Message de karenmel posté le 23-11-2013 à 17:42:04 (S | E | F)
Bonjour, je prépare le Concours de Recrutement des Professeurs des Ecoles. Je bloque complètement sur un énoncé de Maths. A partir de la question 2, auriez-vous des éléments de réponses qui pourraient m'aider à avancer:
Soit (E) l'équation diophantienne 2a + 3b = 1. On note S son ensemble solution.
1. Vérifier que le couple (-1;1) est une solution particulière de (E).
2. Justifiez que si (a,b) appartient à S alors 2(x+1) = -3(y-1).
3. En déduire que 2 divise b-1 puis qu'il existe k appartient à Z tel que b= 1+2k.
4. En déduire que si (a,b) appartient à S alors il existe k appartient à Z tel que a= -1+2k.
5. Déterminer l'ensemble solution S. Faire un schéma dans un plan.
6. Résoudre par une méthode analogue l'équation 7a+4b=1.
Ce qui me perturbe, ce sont les lettres S, k, x, y: je ne vois pas d'où elles sortent et surtout à quoi elles peuvent correspondre.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 23-11-2013 à 21:23:14 (S | E)
Bonsoir Karen,
À mon avis, il y a une (première) erreur (de frappe, cela arrive, même dans les sujets d'examen) dès le départ : l'équation (E) est en fait 2x+3y=1.
Q1 : On est d'accord que le couple (-1;+1) est solution de (E) (c'est juste pour vérifier si tu connais tes tables de multiplication, lol).
Q2 : S est l'ensemble solution (c'est écrit dans l'énoncé) de l'équation (E) : cela signifie qu'il y a plusieurs couples qui sont solutions de cette équation. Par exemple, en voilà un autre : (-4;+3).
On te demande simplement de montrer que l'expression (E) de départ est équivalente à 2(x+1) = -3(y-1). Trop facile !
Q3 : Il faut entendre ici : si (a;b) est solution de (E), alors "2 divise b-1". C'est logique, et facile.
Ensuite, il faut que tu montres que b peut s'écrire sous la forme 1+2k... qui est l'expression d'un nombre impair ("tout simplement").
Q4 : Malheureusement, il y a une seconde erreur dans l'énoncé : il faut en fait montrer que a peut s'écrire sous la forme a=-1-3k (utilise la même méthode que dans la question précédente).
Q5 : Là, ça devient facile puisque les erreurs ont été corrigées précédemment. Tu devrais y arriver.
Q6 : Tu reprends la méthode de Q2 à Q5 pour résoudre cette nouvelle équation.
Conclusions :
• S est l'ensemble solution de l'équation.
• x et y, les inconnues de l'équation diophantienne.
• a et b, les éléments des couples solutions.
• k est un paramètre introduit pour te permettre d'exprimer a et b d'une certaine façon.
N'oublie pas de préciser à quels ensembles appartiennent les différents éléments de cet exercice.
Si ça n'est pas assez clair, précise-le.
Si tu en as besoin, poste tes calculs pour validation.
Bonne soirée.
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 24-11-2013 à 13:23:20 (S | E)
Merci de m'avoir répondu,
Je n'ai pas eu de difficultés pour répondre à la question 2. Voici ce que je propose:
2(x+1)= -3(y-1)
2x+2 = 3y+3
2x+3y = -1
En revanche, les explications concernant la 3 ne me paraissent malheureusement pas logiques (^^). Et comme toutes les autres questions en dépendent, je n'arrive à rien.
Comment à partir de la réponse 1 et de la réponse 2, peut-on dire que "si (a;b) est solution de (E), alors "2 divise b-1""?
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 24-11-2013 à 14:47:05 (S | E)
Karen... Fais attention quand tu postes tes résultats de ne pas faire d'erreurs : tes 2ème et 3ème lignes de calcul sont erronées, ce qui fait beaucoup sur trois lignes de calcul !
Q2 : En fait, ce que tu as écrit doit rester sur le brouillon (partir du résultat pour revenir à la source). Sur ta feuille d'examen, et bien qu'il s'agisse d'équivalences, il vaut mieux partir de la source :
• Soit (E) l'équation 2x+3y=1
• En ajoutant -3y à chaque membre, (E) <=> 2x=-3y+1
• En ajoutant 2 à chaque membre, (E) <=> 2x+2=-3y+3
• En factorisant chaque membre, (E) <=> 2(x+1)=-3(y-1)
Q3 : Si a et b sont solutions de (E), alors 2(a+1)=-3(b-1)
Tu vois donc que le membre -3(b-1) est... comment ? Un nombre pair ou impair ?
À toi de finir le raisonnement.
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 24-11-2013 à 20:55:29 (S | E)
Ce membre peut être pair ou impair selon la valeur de b:
-9(1-1)= -3+3 = -1
-3(3-1)= -9+3 = 12
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 25-11-2013 à 11:21:24 (S | E)
Q3 : Karen, tu parles en général, en ne prenant en compte que l'expression -3(b-1), mais tu oublies juste ce qu'on vient de prouver et qui représente une condition : -3(b-1) doit être égal à 2(a+1) !!!
Sache (d'autant plus que tu vas te présenter à un concours) qu'un problème de math se construit avec des questions dont chacune sert à la suivante : tu comprends ?
Donc depuis la Q2, tu sais que -3(b-1) = 2(a+1). Donc -3(b-1), c'est un nombre pair ou impair ???
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 25-11-2013 à 19:57:19 (S | E)
Il est forcément pair parce que tous les multiples de deux sont pairs.
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 25-11-2013 à 20:52:47 (S | E)
Q3 : Ben voilà ! Comme je te le disais, c'est simple et logique.
Bon, ben... tu fais la suite ?
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 25-11-2013 à 21:04:46 (S | E)
Dans l'expression -3(b-1), si b est impair, le (b-1) est pair et donc 2 divise b-1.
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 25-11-2013 à 21:12:58 (S | E)
Maintenant, je ne vois pas comment introduire le k dans l'expression..
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 26-11-2013 à 01:49:06 (S | E)
Q3 : Désolé Karen : tu n'as toujours pas saisi le raisonnement.
On reprend :
• comme -3(b-1) est égal à 2(a+1), et que 2(a+1) est un nombre toujours pair, alors -3(b-1) est pair,
• comme -3(b-1) est pair, et que -3 ne l'est pas, alors b-1 est pair.
Voilà, c'est tout, et comme tu peux le constater, il y a à peine deux lignes de raisonnement, et c'est juste du bon sens.
Ensuite : comme b-1 est toujours pair, on peut (c'est-à-dire : on en a le droit) l'écrire sous la forme b-1=2k, où k est un entier relatif.
Et ça, tu l'as appris dans les petites classes : on peut toujours écrire un nombre pair sous la forme 2n (n entier) ou 2k (k entier relatif).
Donc, puisque b-1=2k, on peut écrire b=1+2k.
Voilà, maintenant, que penses-tu de la Q4 ?
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 26-11-2013 à 13:58:55 (S | E)
D'accord merci.
Cela va faire 6 ans que je n'ai pas fait de maths, j'ai du mal à avoir les bons réflexes..
Je me mets à la Q4!
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 26-11-2013 à 14:36:55 (S | E)
Q4:
2(a+1) = -3(b-1)
2(a+1) = -3(1+2k-1)
2(a+1) = -3*2k
2(a+1) = -6k
On veut introduire k dans l'expression de gauche tout en conservant l'égalité. Il faut donc que a= -1-3k pour obtenir 6k.
2(-1-3k-1) = -6k
-6k = -6k
Donc il existe k tel que a= -1-3k et b= 1+2k
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de karenmel, postée le 26-11-2013 à 15:57:24 (S | E)
Et Q6:
Soit (E) l'équation 7a+4b = 1
En ajoutant -4b à chaque membre, (E) 7a = 4b = -7b+1
En ajoutant 2 à chaque membre, (E) = -7B+7
En factorisant chaque membre, (E) = 2(2b+3) = -7(b-1)
Comme -7 (b-1) est égal à 2(2b+3) et que 2(2b+3) est un nombre toujours pair, alors -7(b-1) est pair.
Comme -7 (b-1) est pair, que 7 ne l'est pas, alors (b-1) est pair.
Comme b6& est toujours pair, on peut l'écrire sous la forme b-1= 2k où k est un entier relatif. Puisque b-1 = 2k, on peut écrire b= 1+2k
2(2b+3)= -7(b-1)
2(2b+3)= -7(1+2k-1)
2(2b+3)= -14k
2(-7k-3+3)= -14k
-14k = -14k
Donc, il existe k tel que a = -7k-3 et b=-14k
Réponse: Exercice- Equations diophantiennes de milarepa, postée le 26-11-2013 à 16:46:34 (S | E)
Q4 : Ça commençait très bien... jusqu'à 2(a+1) = -6k, qui est juste.
Mais là, tu as une équation à une inconnue, qui est a, et tu dois l'extraire !!! On n'introduit pas du tout k comme tu le proposes !!!
Donc à la question Q4, extrais a par étape, càd qu'à la fin tu dois avoir a à gauche et tout le reste à droite.
Q5 : Et Q5 ??? Il faut également y répondre !
Q6 : Karen, attention : tu mélanges le signe "=" avec le signe "<=>" alors qu'il n'ont pas du tout le même sens !!! Il faut que tu fasses très attention à ça, car ça n'est pas un détail, en math.
Ensuite, appliquer la même méthode ne veut pas dire appliquer les mêmes nombres !!! C'est la méthode qu'on applique, pas les nombres !!!
Enfin, tu n'avais juste qu'à recopier ce que j'ai écrit ! C'est si dur ???
Donc :
• Soit (E) l'équation 7x+4y=1
• En ajoutant -4y à chaque membre, (E) <=> 7x=-4y+1
Et là tu continues la méthode (voir plus haut) mais en adaptant les chiffres à l'équation présente !!!
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