Maximum, minimum et valeur absolue
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de bibor215 posté le 17-11-2013 à 22:55:40 (S | E | F)
bonjour, je suis devant un exercice sur les minimum, maximum et valeur absolue.
j'aimerais avoir quelques infos sur les démontrations que j'ai réalisé.
merci par avance.
Soit a et b deux réels,
on note min(a;b) le plus petit des deux nombres a et b
on note max(a;b) le plus grand des deux nombres a et b
1) a) Démontrer max(a;b)+min(a;b) = a+b
b) Démontrer max(a;b)-min(a;b) = |a-b|
2) Déduire min(a;b) = et max(a;b) =
voici mes réponses:
1) a) max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a>b alors min(a;b)=b et max(a;b)=a
donc max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a<b alors min(a;b)=a et max(a;b)=b
donc max(a;b)+min(a;b)=b+a=a+b
1) b) max(a;b)-min(a;b)=|a-b|
si a>b alors max(a;b)=a et min(a;b)=b
donc max(a;b)-min(a;b)=|a-b|=a-b
si a<b alors max(a;b)=b et min(a;b)=a
donc max(a;b)-min(a;b)=|a-b|=b-a
a-b # b-a mais |a-b|=|b-a|
2) min(a;b) =
si a>b alors |a-b|=a-b et min(a;b) = =
=
= b
si a<b alors |a-b|=b-a et min(a;b) = =
=
= a
max(a;b) =
si a>b alors |a-b|=a-b et max(a;b) = =
= a
si a<b alors |a-b|=b-a et max(a;b) = =
= b
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de milarepa, postée le 18-11-2013 à 09:01:46 (S | E)
Bonjour Bibor,
Q1-a :
Rien à redire, c'est parfait.Q1-b : Il vaut mieux que tu enlèves les deux valeurs absolues des deux premières lignes et que tu écrives seulement :
• si a>b alors max(a;b)=a et min(a;b)=b, donc max(a;b)-min(a;b)=a-b
• si b>a alors max(a;b)=b et min(a;b)=a, donc max(a;b)-min(a;b)=b-a=-(a-b)
Et que tu ajoutes : Or, en valeur absolue, |a-b|=|-(a-b)|=|b-a|, et donc l'égalité proposée est vérifiée.
Q2 :
Eh bien, tu ne démontres pas ce qu'on te demande, n'est-ce pas ?De plus, méthodologiquement, ta démarche n'est pas juste, car tu n'as plus besoin de distinguer les deux cas a>b et b>a.
En effet, les deux équations démontrées dans la question 1 (d'où l'intérêt de cette question préalable) sont valables quels que soient a et b.
Il faut donc juste que tu manipules (un peu) ces deux équations pour arriver aux résultats demandées.
Bonne journée.
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de bibor215, postée le 18-11-2013 à 10:26:08 (S | E)
bonjour milarepa, merci pour ta réponse, voici la mise à jour en espérant que cela soit bon.
1) a) démontrer max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a>b alors min(a;b)=b et max(a;b)=a
donc max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a<b alors min(a;b)=a et max(a;b)=b
donc max(a;b)+min(a;b)=b+a=a+b
1) b) démontrer max(a;b)-min(a;b)=|a-b|
si a>b alors max(a;b)=a et min(a;b)=b
donc max(a;b)-min(a;b)=a-b
si a<b alors max(a;b)=b et min(a;b)=a
donc max(a;b)-min(a;b)=b-a =-(a-b)
or, en valeur absolue, |a-b|=|-(a-b)|=|b-a|, donc l'égalité proposée est vérifiée.
2) Déduire min(a;b) = et max(a;b) =
en reprenant 1)a), on peut écrire:
max(a;b)+min(a;b) = +
=
=
= a+b
l'égalité est bien vérifiée en fonction de 1)a)
en reprenant 1)b), on peut écrire:
max(a;b)-min(a;b) = -
=
=
= |a-b|
l'égalité est bien vérifiée en fonction de 1)b)
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de milarepa, postée le 18-11-2013 à 10:43:48 (S | E)
Bibor...
Q1 : C'est ok.
NB : Ne réécris pas ce qui est validé dans tes réponses suivantes.
Q2 : On te demande de montrer par exemple que min(a;b)=(1/2)(a+b-|a-b|)
Je ne vois pas du tout que tu sois arrivé à ce résultat dans ta réponse. Idem pour max(a;b) !!!
Est-ce que tu vois que tu es hors sujet (que tu es à côté de la plaque, quoi
) ?Pour que ce soit plus clair pour toi, remplace max(a;b) par X et min(a;b) par Y.
Tu as donc deux équations (obtenues à la question 1) :
• X + Y = a+b
• X - Y = |a-b|
Et on te demande - à partir de ces deux équations uniquement - d'exprimer :
- d'une part X en fonction de a et de b,
- et d'autre part Y, en fonction de a et de b.
Rien de plus simple, tu ne crois pas ???
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de bibor215, postée le 18-11-2013 à 12:56:38 (S | E)
mais oui bien sur, cette fois, je pense avoir compris.
1) a) démontrer max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a>b alors min(a;b)=b et max(a;b)=a
donc max(a;b)+min(a;b)=a+b
si a<b alors min(a;b)=a et max(a;b)=b
donc max(a;b)+min(a;b)=b+a=a+b
1) b) démontrer max(a;b)-min(a;b)=|a-b|
si a>b alors max(a;b)=a et min(a;b)=b
donc max(a;b)-min(a;b)=a-b
si a<b alors max(a;b)=b et min(a;b)=a
donc max(a;b)-min(a;b)=b-a =-(a-b)
or, en valeur absolue, |a-b|=|-(a-b)|=|b-a|, donc l'égalité proposée est vérifiée.
2) Déduire min(a;b) = et max(a;b) =
on remplace max(a;b) par X et min(a;b) par Y dans les deux équations du 1)
X+Y=a+b
X-Y=|a-b|
on peut réécrire le système sous la forme:
Y=a+b-X
X-Y=|a-b|
on remplace Y par a+b-X dans le deuxième membre
X-(a+b-X)=|a-b|
X-a-b+X=|a-b|
2X=a+b+|a-b|
X= d'ou max(a;b) =
on réécris ensuite le système sous la forme:
X+Y=a+b
X=|a-b|+Y
on remplace X par |a-b|+Y dans le premier membre
|a-b|+Y+Y=a+b
2Y=a+b-|a-b|
Y= d'ou min(a;b) =
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de milarepa, postée le 18-11-2013 à 13:15:59 (S | E)
Ben voilà !!!
Facile, non ?
Cependant :
1- Je t'avais demandé de ne pas réécrire ce qui était validé (sinon, on doit revérifier si tu as changé quelque chose, etc., et on est ici qu'en tant que bénévole, donc pas trop le temps de revérifier en permanence : tu comprends ?).
2- Ta méthode est juste dans la Q2, mais il y a une façon de faire plus "élégante" :
• pour calculer X, il suffit d'ajouter les deux équations membre à membre, ce qui donne 2X = ..., d'où X = ...
• pour calculer Y, il suffit de soustraire les deux équations membre à membre, ce qui donne -2Y = ..., d'où Y = ...
Bonne semaine à toi.
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de bibor215, postée le 18-11-2013 à 14:24:08 (S | E)
pigé, merci pour tout, à bientôt.
Réponse: Maximum, minimum et valeur absolue de idirnassim, postée le 21-11-2013 à 11:49:35 (S | E)
Bonjour à tous ;
Je veux attirer votre attention sur une chose :
" En mathématiques pour démontrer une égalité on utilise l'une des trois méthodes:
1-Commencer de l'entitée qui se trouve à gauche pour arriver à l'autre.
2-Ou bien l'inverse, vous commencez de droite pour arriver à celui qui se trouve à gauche.
3- ou de calculer la différence.
Exemple :
démontrer ces égalités :
1/ 9x²+24x+19=(3x+4)²+3.
2/ x²/2+3x+5=x/2(x+6+10/x).
3/ (3x²+5).(1/3x²)-((5/3x²)+1)=0.
Solution ;
1/ 9x²+24x+19= (3x)²+ 2.3x.4+ 4²+3
= (3x+4)²+3 " identité remarquable de la forme (a+b)²=a²+ 2.a.b + b² "
2/ x/2(x+6+10/x)=x²/2+ 3x + 5 " il faut distribuer "
3/ (3x²+5).(1/3x²)-(5/3x²+1)= 3x²/3x² + 5/3x² -((5/3x²)+1)
= 1 + 5/3x² -(5/3x²) - 1
= 0
Bon courage
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