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Message de lahcen2012 posté le 17-11-2013 à 21:49:21 (S | E | F)
Bonsoir;
Pourriez-vous m'aider dans cet exercice ? S'il vous plaît ! et merci d'avance :!
f(x)= (4x+3)/(la racine de x^2+1)
Montrer que f([4/3;+l'infinie[)= ]4;5[
Message de lahcen2012 posté le 17-11-2013 à 21:49:21 (S | E | F)
Bonsoir;
Pourriez-vous m'aider dans cet exercice ? S'il vous plaît ! et merci d'avance :!
f(x)= (4x+3)/(la racine de x^2+1)
Montrer que f([4/3;+l'infinie[)= ]4;5[
Réponse: Application de milarepa, postée le 17-11-2013 à 23:30:32 (S | E)
Bonsoir Lahcen,
Une méthode consiste à faire une étude de la fonction (calcul de la dérivée, puis tableau de variations) : il apparaît alors clairement la correspondance des deux domaines présentés.
Bonne soirée.
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 08:29:07 (S | E)
Bonjour;
f est une application et ce n'est pas une fonction.
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 08:49:46 (S | E)
Bonjour Lahcen,
f(x) est une application ET une fonction.
Pour info, voici une bonne définition des deux entités : « Une application fait correspondre un élément d'un ensemble à un autre élément d'un autre ensemble (voire le même). Une fonction est donc une application particulière qui à un nombre associe un autre nombre (entier, réel, complexe, ça dépend). »
Réponse: Application de wab51, postée le 18-11-2013 à 08:53:20 (S | E)
Bonjour lahcen et mon bonjour amical à milarepa :
1)il me semble qu'il y'a une erreur dans l'écriture de l'intervalle image au lieu de l'intervalle ouvert sur les deux bornes ]4;5[ ,c'est plutôt ]4;5] intervalle ouvert à la borne 4 et fermée à la borne 5 .
2)En plus des indications de milarepa ,il ne faut pas oublier de
2) Prouver que la fonction f est d'abord continue sur R et plus spécialement sur [4/3 ; +0o[? .
Bonne continuation et bonne journée
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 08:54:49 (S | E)
Bonjour;
Merci d'abord milarepa.
Comment je calcul la dérivée du f ?
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 09:10:37 (S | E)
Bonjour à toi Wab.
Oui, tout à fait d'accord sur l'inclusion de 5 dans l'intervalle de f, puisque 4/3 est inclus dans celui de x.
Lahcen, tu peux te servir de ce tableau des dérivées usuelles : Lien internet
Commence par considérer que ta fonction est de la forme u(x)/v(x) (la dérivée est alors f'=(u'v-uv')/v2)
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 09:16:50 (S | E)
Désolé. On n'a pas étudier ça!
C'était une question dans un exercice du contrôle. Y'a-t-'elle d'autre méthode ?
x appartient à [4/3,l'infine[ donc f(x) appartient à ]4:5]
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 10:54:08 (S | E)
Ok.
Donc, il faut que tu montres que :
• f(4/3)=5
• lim f(x) quand x->+oo = 4
ET que
• f(x) est continue et strictement monotone pour tout x appartenant à [4/3;+oo[
Ce qui te permettra de conclure que f(x) appartient bien alors à ]4;5].
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 11:09:55 (S | E)
Oui;
Merci pour l'information !
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 15:46:10 (S | E)
x appartient à [4/3,l'infine[ donc x>=4/3 [ le cas 1 ]ou bien 7/21>x [ le cas 2 ]
dans le cas j'ai trouvé que f(x)>=5 ou 4>f(x) donc f(x) appartient ]4;5].
Est-il juste ce justement ?
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 15:53:29 (S | E)
Désolé Lahcen, mais tout ce que tu viens d'écrire est hors sujet.
Pourquoi 2 cas ? D'où sort ce 7/21 ?
As-tu suivi mes recommandations ?
Peut-être Wab saura-t-il mieux t'expliquer...
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 18-11-2013 à 16:22:24 (S | E)
Désolé moi aussi parce qu'on n'a pas encore étudié limite ...
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 16:38:47 (S | E)
Oui, si tu n'as pas étudié les limites, je ne sais quoi te conseiller.
Je pense que Wab pourra mieux t'orienter.
À une autre fois.
Réponse: Application de wab51, postée le 18-11-2013 à 17:49:27 (S | E)
Bonsoir lahcen :
Tout d'abord je remercie profondément milarepa pour toutes ses précieuses et riches interventions qu'il a portées au fur et à mesure à ce dossier .Il a tout dit et parfaitement tout très bien expliqué .Je ne peux encore que le remercier et le féliciter encore une fois de plus avec mes hautes considérations les plus respectueuses.
Permettez-moi ,cher lahcen de te dire que tu n'avais pas apporté toute ton attention à tout ce que t'avait mis milarepa sur la table comme supports,comme rappels ,comme raisonnements ... enfin toute l'aide nécessaire d'une pédagogie complète marquée et renforcée à chaque fois par des références d' outils de travail . C'est pourquoi encore je dirais que ce n'était pas le petit handicap d'un résultat d'une limite qui n'intervient qu'après tout un long processus de raisonnement de règles et de calcul vous aurait empêcher de comprendre et de répondre aux difficultés .(tu n'avais pas fait ça dans le cours ,tu pouvais simplement et logiquement l'admettre et rien n'aurait changé au résultat). Enfin ,je pense que la meilleure façon d'apporter la joie à quelqu'un qui t'a aidé ,un petit merci avec une petite forme de politesse ne coûte rien.Merci
Réponse: Application de milarepa, postée le 18-11-2013 à 18:38:26 (S | E)
WabRéponse: Application de tiruxa, postée le 21-11-2013 à 19:10:28 (S | E)
Bonjour à tous,
Il n'est bien sûr pas nécessaire que f soit continue ou dérivable ou monotone pour avoir un tel résultat mais c'est évidemment plus facile lorsque f l'est et justement c'est le cas.
Plaçons nous dans un cas général où f ne serait pas tout cela mais juste une application de R dans R.
Comme Lahcen n'a pas étudié les notions précédentes on peut donc se placer dans ce cas général.
Il suffit de montrer alors la double inclusion pour en déduire l'égalité.
Inclusion directe :
On considère un réel x supérieur ou égal à 4/3 et on démontre que 4 < f(x) <= 5.
Inclusion réciproque :
On considère un réel t élément de ]4;5] et on démontre qu'il existe un réel x supérieur ou égal à 4/3 tel que f(x) = t.
La première partie démontre que f([4/3 ; +infini[) est contenu dans ]4:5]
La deuxième partie démontre que ]4:5] est contenu dans f([4/3 ; +infini[)
La première partie est assez facile la deuxième beaucoup moins.
Si cela intéresse Lahcen je peux développer davantage.
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 22-11-2013 à 13:22:43 (S | E)
Bonjour tiruxa.
Merci beaucoup pour vos informations. Oui cela m'intéresse.
Pour la première partie: je n'ai pas trouvé la réponse
Pour la Deuxième : je l'ai trouvé ! ( x est grand et égale à 4/3 ou x est grand et égale 21/7) donc l'union deux intervalles nous donne x est grand et égale à 4/3.
Réponse: Application de tiruxa, postée le 22-11-2013 à 15:23:03 (S | E)
D'accord Lahcen, je développe un peu la première partie :
On considère donc un réel x >= 4/3
donc bien sûr x >0 et 4x+3 >0,
Pour démontrer que f(x) <= 5 je vais procéder par équivalence (on peut aussi étudier le signe de f(x) - 5 mais c'est plus technique)
f(x) <= 5 <===>
<===>
<===>, ici il y a équivalence car 4x+3>0
<===>
<===>
Comme un carré est toujours positif cette dernière inéquation est vraie donc la première également, on a bien f(x) <= 5
Voilà je vous laisse faire la même chose (ou presque) pour 4 < f(x).
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 22-11-2013 à 17:35:05 (S | E)
Bonjour;
Pour le cas de f(x) est grand que 4 j'ai trouvé que 0 est grand que x^2-8/3+16/9
donc 0 est grand que (x-4/3)^2 et c'est impossible.
Réponse: Application de tiruxa, postée le 22-11-2013 à 19:04:02 (S | E)
f(x) > 4 <===>
<===>
<===>24x >7
<===>
Or donc la dernière inégalité est vraie, par conséquent la première aussi, on a donc f(x) > 4.
Réponse: Application de lahcen2012, postée le 22-11-2013 à 19:11:20 (S | E)
Merci;
Et pour l'inclusion inverse x est grand et égale 4/3 donc f(x) et dans l"intervalle 4;5
Réponse: Application de tiruxa, postée le 22-11-2013 à 23:18:48 (S | E)
Comme je l'avais dit :
On considère un réel t élément de ]4;5] et on démontre qu'il existe un réel x supérieur ou égal à 4/3 tel que f(x) = t.
f(x) = t <===>
<===> et 4x+3>=0
<===> et 4x+3>=0
Posons g(x)= (16-t²)x² + 24x + 9 - t²
Puisque t>4, 16-t² <0 donc cette équation est du second degré en x et la parabole représentant g a sa concavité dirigée vers le bas.
On cherche delta, on montre qu'il est positif, donc on a deux solutions (distinctes ou confondues)
Il faut alors placer 4/3 par rapport aux solutions de l'équation.
On calcule g(4/3) , on trouve qu'il est positif, comme la concavité est dirigée vers le bas, on en déduit qu'une deux deux solutions est supérieure à 4/3, cette solution vérifie de plus la condition 4x+3>0 donc il y a bien un x supérieur à 4/3 tel que f(x) = t.
Je vous laisse faire les calculs...
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