Les applications

Bonjour inssaf :
1) Démontrer que h n'est pas surjective ?
Il faut par un contrexemple :prendre par exemple 3/7 qui est un nombre rationnel donc appartient à Q et démontrer qu'il n'a pas d'antécédent dans Z*xN* (c'est à dire prouver qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme p+1/q ).
Pour t'aider encore dans ce raisonnement :Au départ pose que 3/7=p+1/q et puis sachant que p ≤ p+1/q < p+1 et en manipulant le calcul on arrive à déduire que q n'est pas un entier nul d'où la conclusion que h n'est pas sujective .

2) Démontrer que h est injective ?
On doit donc prouver : .

Je te suggère de faire un raisonnement par l'absurde pour démontrer que f est injective ,c'est à dire que l'on suppose que la proposition n'est pas vraie c'est à dire qu'on doit avoir et pour cela on suppose donc que > soit encore .De là on écrit alors (je te laisse continuer le calcul et le raisonnement ) .Tu vas aboutir à une contradiction et de là tu peux déduire que h est injective .Bonne continuation et bon courage 

Bonjour inssaf :

En réponse à ta question "Pour le 1: Comment je vais déduire que q n'est pas un entier nul ? " . Pour en déduire quelque chose ,logiquementet évidemment il faut commencer par faire quelque chose .Or ,toi ,tu n'as rien fait .Je te recommande de bien lire attentivement mon  1er message et à là réponse comment faire ... y'est et la voici ":Au départ pose que 3/7=p+1/q et puis sachant que
p ≤ p+1/q < p+1 et en manipulant le calcul on arrive à déduire que q
n'est pas un entier nul d'où la conclusion que h n'est pas sujective". 

On sait que p ≤ p+1/q < p+1 et que p+1/q=3/7 ,alors cela revient à écrire que p ≤ 3/7 < p+1 et là tu continues pour aboutir à une nouvelle double inégalité équivalente  de cette forme ...≤ 3 < ... .Puis voir à quelle condition doit remplir p pour que cette double inégalité soit vérifiée? et c'est de ce résultat qu'on peut envisager de déduire que le nombre rationnel 3/7 s'écrira et égal à 1/q d'ou q=... et par conséquent q n'est pas un entier naturel non nul ...

J'essaie de te résumer brièvement tout le travail que tu as fait et qui t'a permis de démontrer que l'application n'est pas une surjection . En réalité pour savoir qu'est ce qu'on fait et ou est-ce qu'on va pour savoir ce qu'on obtient ? il ne faut pas prendre les choses en morceaux mais de suivre minutieusement toute la cascade de raisonnement pour etre certain d'avoir compris .

Pour montrer que f n'est pas surjective ,il suffit simplement de trouver qu'il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui est l'ensemble des nombres rationnels   ,qui n'a pas d'antécédent dans l'ensemble de départ qui est l'ensemble  . (voilà toute l'idée de ce raisonnement) . Pour se faire ,nous avons choisi cet élément donc ce nombre rationnel comme égal à 3/7 (on pourrait choisir un autre ...mais là il suffit de trouver un seul) et nous allons montrer que ce nombre ne pourait pas s'écrire sous la forme  autrement dit 3/7  n'a pas d'antécédent . Qu'on est-il alors de la démonstration ? Là ,il faut faire appel à l'imgination et à l'intuition en commençant par considérer puisque c'est vrai que        (double inégalité évidente) ce qui se traduit par ce que nous avons supposé 3/7 par     .Or et ça tu l'avais fait et trouvé que  ne peut etre égal qu'à zéro donc  ,ce qui revenait à écrire que  d'ou on en déduit que  ,ce qui est contraire à l'hypothèse que  n'est pas un entier naturel et par conséquent le nombre 3/7  n'a pas d'antécedent d'ou la conclusion que l'application  n'est pas surjective . Voilà et pourtant je n'ai rapporté de nouveau . Bonne chance