étude d'une fonction

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étude d'une fonction
Message de spongebob33 posté le 11-10-2013 à 11:31:28 (S | E | F)
Bonjour j'aimerai avoir vos avis sur cet exercice.
j'ai g(x) = e^x - (x-1) défini sur R
on me demande d'etudier les variations de g(x), de determiner pour tour reel x le signe de g(x) et de deduire que pour tout reel x, le signe de la fonction f(x)=e^2x -(x-1)e^x

j'ai calculer la dérivée de g(x) -> g'(x) = e^x -1 donc g'(x)=0 quand x= 0
j'ai calculer les limites:
lim g(x) = -oo
x->-oo

lim g(x)= +oo   (pour celle ci je n'arrive pas à la transformer de façon à pouvoir calculer sa limite)
x->+oo

j'ai fait le tableau de variation:
pour tout x reel, g(x) est strictement positive.
je n'arrive pas à etabir la relation en g(x) et f(x) pour pouvoir etudier son signe

X        -oo                                    0                        +oo
g'                          -                     0        +
g                 (-oo)   ➘                  0              ➚ (+oo)

Réponse: étude d'une fonction de wab51, postée le 11-10-2013 à 12:16:28 (S | E)
Bonjour spongebob :
$a) \lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=$ $- \infty\red$ (faux - revoir le calcul des limites )
b) Pour $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=$ $+ \infty \blue$ (résultat exact mais sans démonstration -)Il s'agit d'une forme indéterminée $+\infty-\infty$ .Pour élever l'indétermination écrire $g(x)$ sous la forme $g(x)=\frac{xe^{x}}{x}-x+1=x(\frac{e^{x}}{x}-1+\frac{1}{x})$ .
c)étude du sens de variation de $g'(x)$ est exact . $g(x) \geq 0$ pour tout $x \in R$ (exact) .Corriger l'erreur de la $\lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=?$ .
d) Pour l'étude du signe de f(x) à partir de g(x) ? $f(x)=e^{2x}-(x-1)e^{x}=$ $e^{x}\left[e^{x}-(x-1) \right]=....$ ?
Bon courage et bonne continuation .

Réponse: étude d'une fonction de iza51, postée le 11-10-2013 à 12:19:01 (S | E)
bonjour
la limite en -∞ est fausse
pour la limite en +∞, mets x en facteur
calcule f'(x) et étudie les variations de f

pour x tout réel, g'(x) est positif ( = positif ou nul) mais pas strictement positif (= positif et non nul)

Réponse: étude d'une fonction de iza51, postée le 11-10-2013 à 12:21:52 (S | E)
bonjour wab
mince je n'ai pas regardé la formule pour f(x)et j'ai répondu trop vite!
tu as raison pour le lien entre g(x) et f(x)

Réponse: étude d'une fonction de wab51, postée le 11-10-2013 à 12:34:27 (S | E)
Bonjour iza :Il n'y a rien de grave et surtout très content de vous croiser .Merci iza .Bonne chance .

Réponse: étude d'une fonction de spongebob33, postée le 11-10-2013 à 13:02:44 (S | E)
merci beaucoup de votre aide.

donc pour la limite de g(x) quand x tend vers +oo:

lim ((e^x)/x -1 + 1/x)= +oo
x->+oo

pour lim (e^x)/x quand x tend vers +oo, j'ai fait
lim 1/x = 0
x->+oo

lim e^x= +oo
x->0

donc lim (e^x)/x quand x tend vers +oo = +oo donc
lim g(x)= +oo
x->+oo

lim g(x)= +oo
x->-oo

et comme on a f(x)= e^2x -(x-1)e^x = e^x(e^x -(x-1)) et que e^x ≥ 0 et e^x -(x-1)≥ 0 alors f(x) ≥ 0

Réponse: étude d'une fonction de spongebob33, postée le 11-10-2013 à 13:07:25 (S | E)
Petite erreur de ma part dans l'ennoncé

f(x)= e^2x -(x+1)e^x
g(x)= e^x - (x-1)

donc:

lim g(x)= +oo
x->-oo

lim g(x)= +oo
x->+oo

Réponse: étude d'une fonction de wab51, postée le 11-10-2013 à 13:08:31 (S | E)
Une toute précision dans ta dernière réponse :
et comme on a f(x)= e^2x -(x-1)e^x = e^x(e^x -(x-1)) =g(x).e^x et que pour tout x réel :e^x ≥ 0 et g(x)=e^x -(x-1)≥ 0 (déjà démontré précédemment)alors f(x) ≥ 0 pour tout x réel .
Bravo .Félicitations et bonne journée

Réponse: étude d'une fonction de monadanse, postée le 11-10-2013 à 13:24:49 (S | E)
je ne comprend ce qu'est une fonction.
on peut m'aider?

Réponse: étude d'une fonction de spongebob33, postée le 11-10-2013 à 13:31:51 (S | E)
merci beaucoup pour toutes ces explication.
j'ai juste une dernière question que je n'ai pas ecrite.
Si je veux montrer que f(x) est continue sur R,
je peut dire que come la fonction est strictement croissante, il n'y a aucunes valeurs pour que e=0 donc la fonction f(x) est continue ?

Réponse: étude d'une fonction de wab51, postée le 11-10-2013 à 13:42:08 (S | E)
Non !vaut mieux citer le théorème" fonction produit de deux fonctions continues sur R est continu sur R".En effet f(x)=g(x).e^x
la fonction g(x) continue sur R et la fonction e^x continue aussi sur R alors la fonction f(x)=g(x).e^x continue sur R .

Réponse: étude d'une fonction de spongebob33, postée le 11-10-2013 à 13:43:11 (S | E)
merci beaucoup pour ton explication

Réponse: étude d'une fonction de wab51, postée le 11-10-2013 à 19:36:32 (S | E)
Bonsoir spongebob :1) Désolé!je n'avais pas vérifié la valeur de g(x) lorsque x=0 dans le tableau de variation de la fonction g .Ce n'est pas g(0)= 0 c'est malheureusement faux .Revois ton calcul c'est g(o)= 2 . Voici Tableau de variation de g .

2) En tenant compte de la nouvelle forme exacte de $f(x)=e^{2x}-(x$ $+1\red$ $)e^{x}$ et de là pour en déduire le signe f(x) à partir de celui de g(x) .Ce n'est plus le meme résultat et par conséquent et à partir des résultats du tableau de variation de g ,on a g admet un minimum pour x=0 atteint pour 2 ,cela signifie que pour tout $x$ réel on a $g(x) \geq 2$ ou encore $g(x)-2 \geq 0$ .Or $f(x)$ peut encore s'écrire sous la forme $f(x) = \left[g(x)-2 \right]e^{x}$ et de là apparait que f est produit de deux fonctions $h(x)=g(x)-2$ et $e^{x}$ qui sont toutes les deux continues et positives pour tout $x$ réel et par conséquent la fonction $f$ est continue et positive sur $R$ .
Bonne soirée .

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