Limite en un point et forme indéterminé

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Limite en un point et forme indéterminé
Message de eveil posté le 07-10-2013 à 19:24:17 (S | E | F)
Bonjour
Je n'arrive pas à trouver la méthode qui permet de résoudre l'équation suivante :
$\lim_{x->3}$ $\frac{\sqrt[2]{x+6}-3}{x-3}$

Si je remplace x par 3, j'ai $\lim_{x->3}$ $\frac{\sqrt[2]{x+6}-3}{x-3} = \frac{0}{0} \Rightarrow FI$
J'ai alors envie de multiplier en haut et en bas de la fraction par le conjugué du numérateur qui contient une racine pour tenter de lever l'indétermination et ça me donne :
$\lim_{x->3}$ $\frac{\sqrt[2]{x+6}-3}{x-3} * \frac{\sqrt[2]{x+6}+3}{\sqrt[2]{x+6}+3} = \frac{x-3}{x\sqrt[2]{x+6}+3x-3\sqrt[2]{x+6}-9}$

En remplaçant x par 3 j'ai toujours $\frac{0}{0} \Rightarrow FI$ J'ai alors tenté, à partir de cette expression, de factoriser par le monôme de plus haut degré et ça me donne :

$\lim_{x->3}$ $\frac{x(1-\frac{3}{x})}{x(\sqrt[2]{x+6}+3-\frac{3\sqrt[2]{x+6}-9}{x})}$
En remplaçant x par 3, j'ai toujours $\frac{0}{0} \Rightarrow FI$

Je ne vois pas comment faire, mis à part de passer par la dérivé avec la règle de l'hospital que j'ai trouvé sur internet mais on ne l'a pas encore vu en cours et je pense qu'il doit être possible de la résoudre par la factorisation du monôme du plus haut degré ou de la multiplication par le conjugué.
Merci d'avance pour votre aide.

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de olivier2013, postée le 07-10-2013 à 20:51:17 (S | E)
Salut,
il faut penser taux d'accroissement, on reconnait: $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ donc la limite en x=3 est f'(3).

A+

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de tiruxa, postée le 07-10-2013 à 21:42:47 (S | E)
Bonsoir,

En effet, Olivier a raison.

Toutefois ta méthode était correcte, bien que plus longue. Par arriver à conclure il ne fallait pas développer le dénominateur ce qui permettait de simplifier par (x-3) et de lever l'indétermination.

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 07-10-2013 à 22:41:44 (S | E)
Ok, merci.

donc au final on trouve

Par contre la méthode d'Olivier ça revient à la règle de l'hospital, non ? En faisant puis en remplaçant x par 3 ? Lorsque je fais ça je trouve . Si j'ai bien appliqué la méthode alors j'ai dû faire une erreur de calcul quelque part... :/

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 07-10-2013 à 22:44:18 (S | E)
C'est bizarre, les formules latex ne s'affichent pas dans mon dernier post, ça fait deux fois que je recommence, c''est pénible !
J'espère que chez vous ça s'affiche.

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de tiruxa, postée le 07-10-2013 à 23:45:42 (S | E)
Hélas chez moi non plus cela ne s'affiche pas.

L'indication d'Olivier est tout simplement la définition du nombre dérivé f'(3) comme limite du quotient (f(x)-f(3))/(x-3)
puisque ici la fonction f est dérivable en 3.
f étant la fonction telle que f(x)= racine de (x+6)-3. La réponse est donc f'(3) (à déterminer)

La régle de l'Hospital généralise cela, mais ce n'est pas la peine de l'utiliser ici.

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de wab51, postée le 08-10-2013 à 09:40:48 (S | E)
Bonjour
En fait ,comme te l'avais déjà signalé tiruxa ,tu étais sur la bonne voie ,en élevant l'indétermination ,en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $\sqrt[]{x+6}-3$ qui est $\sqrt[]{x+6}+3\blue$ .Ton erreur est d'avoir simplement développé le déniminateur alors qu'il ne fallait pas pour permettre d'effectuer la simplification en haut et en bas par $(x-3)\blue$ (puisque x tend vers 3 mais n'est pas égal à 3) et que tu obtiens après tout calcul fait :

$\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}$ $=$ $\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}$ $\times(\frac{\sqrt[]{x+6}+3}{\sqrt[]{x+6}+3})\blue$ $=\frac{1}{\sqrt[]{x+6}+3}\blue$
donc $\lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt[]{x+6)}-3}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{1}{\sqrt[]{x+6}+3}$ $=\frac{1}{\sqrt[]{9}+3}$ $=\frac{1}{6}\blue$ . Bonne journée .

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 08-10-2013 à 18:59:26 (S | E)
Visiblement...
Comme l'insertion de formules latex ne fonctionnent toujours pas chez moi, j'insère une image :

............

-_-'

....... Comme l'insertion d'image ne fonctionne pas non plus, je vous renvoie à ce lien où je peux uploader une image :

Lien internet

En remplaçant x par 3 dans f'(x) je me retrouve encore une fois avec la forme indéterminé 0/0

Je n'avais par contre pas compris ce que Olivier me disait, grâce à ton aide si j'applique cette méthode ça me donne :

1/[2racine(x+6)] = 1/6

Ca marche mais par contre je ne comprend pas du tout le raisonnement

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de wab51, postée le 09-10-2013 à 10:00:38 (S | E)

Bonjour éveil :D'abord ,il faut bien voir que trois méthodes différentes t'ont été présentéeset ton erreur ne provient pas des calculs mais de la fonction f elle meme dont il faut la définir dans chaque cas traité suivant pour

1ère méthode :Si on utilise le taux d'accroissement ,tel proposé par olivier alors f étant dérivable en $x_{0}=3$ alors $\lim_{x\rightarrow3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3)$ avec la fonction f définie par $f(x)=\sqrt[]{x+6}\blue$ donc $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt[]{x+6}}\blue$ et $f(3)=3\blue$ et $f'(3)=\frac{1}{6}\blue$ .Il suffit simplement de remplacer dans la formule $\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}=f'(3)$ $=\frac{1}{6}\blue$ .

(ton erreur provient du fait que tu t'es trompé en prenant $f(x)=\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}\red$ alors que c'est faux)

2ème méthode suggérée par toi mais non faite "utisation de la formule de l'hospital" .Ici aussi il faut considérer f telle que $f(x)=\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}=\frac{g(x)}{h(x)}\blue$ et si on applique la fomule de l'hospital on aura $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt[]{x+6}-3}$ soit $g'(3)=\frac{1}{6}\blue$ et $h'(3)=1\blue$ donc $\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}=\frac{g'(3)}{h'(3)}=\frac{1}{6}\blue$ .(donc on trouve la meme limite).

3ème méthode -méthode plus générale utilisant les propriétés des limites que je t'ai proposé . Dans ce cas ,il suffit d'élever l'indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $\sqrt[]{x+6}-3$ qui n'est autre que $\sqrt[]{x+6}+3\blue$ tout en sachant que

$(\sqrt[]{x+6}-3)\times$ $(\sqrt[]{x+6}+3=(x+6)-9=(x-3)\blue$ (identité remarquable forme $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ ).

donc en remplaçant on obtient $\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt[]{x+6}-3}{x-3}=$ $\lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt[]{x+6}-3)(\sqrt[]{x+6}+3)}{(x-3)(\sqrt[]{x+6}+3)}=$ $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{(x-3)\sqrt[]{x+6}+3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{1}{\sqrt[]{x+6}+3}=$ $\frac{1}{6}\blue$ (trouve meme résultat ).

J'espère avoir été clair et explicite pour les trois cas présentés .Bonne jurnée à tous

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 09-10-2013 à 20:55:03 (S | E)
Merci c'est beaucoup plus clair

J'ai mis du temps à comprendre la méthode 1, j'avais commencé à écrire un long message en expliquant les points que je ne comprenaient pas mais en les écrivant ça m'a permis de comprendre.

Grâce à toi je comprends désormais la règle de l'hospital également.

Ce qui me pose problème dans les dérivés je pense que c'est la définition :

lim f(x)-f(x0) = f'(x0)
x->x0 x - x0

Je ne comprend pas en fait le f'(x0) dans l'écriture. Bien que je sais que c'est justement la définition je ne vois pas le rapport avec, par exemple, la dérivé de x² = 2x

Mais sinon le reste est compris.
Merci beaucoup.

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de wab51, postée le 09-10-2013 à 21:12:39 (S | E)

Très bien .C'est ainsi les maths "c'est en forgeant qu'en devient forgeron" .
Pour ta question ,où quelque chose semble encore un peu flou pour toi ,voici un lien cours vidéo plus clair et plus précis :

Lien internet

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 12-10-2013 à 11:58:34 (S | E)
Oui ça a éclairci pas mal de choses. Cela dit, ces explications soulèvent une dernière question. Je ne suis pas sûr de saisir ce que représente ce ε(h) ?

f(x0+h) = f(x0) + f'(x0).h + h.ε(h)

En y réfléchissant, j'ai l'impression que ce la différence en y de la tangente en x et de la tangente en x0. Est-ce bien cela ? Est-ce que tu as aussi le même type de vidéo avec des courbes qui expliquent bien tout ça ?

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de tiruxa, postée le 12-10-2013 à 15:08:01 (S | E)
Bonjour,
f(x0+h) est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x0+h
f(x0) + hf'(x0) est l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse x0+h

donc h epsilon(h) est la différence entre les deux ordonnées, cette ordonnée est "négligeable" pur h "petit"

En gros c'est comme en physique, on néglige les termes en x² quand x est petit.

Autre interprétation epsilon(h) c'est la différence entre le coefficient directeur de la sécante et celui de la tangente... (la sécante prenant comme position limite celle de la tangente quand h tend vers 0)

Réponse: Limite en un point et forme indéterminé de eveil, postée le 13-10-2013 à 12:38:54 (S | E)
Bonjour,

J'ai fait un petit dessin histoire de voir si j'ai bien compris, et je ne suis pas sûr d'avoir bien représenter graphiquement h.ε(h).

Lien internet

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