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Message de inssaf147 posté le 05-10-2013 à 16:35:16 (S | E | F)
Bonjour,
Pouvez-vous m'expliquer cet exercice s'il vous plait ?
E= ( x+y/xy avec (x;y) appartient à N*^2
1)Démontrer que E contenu dans ]0;2] ?
2) Est-ce que ]0;2] est contenu dans E ?

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 05-10-2013 à 19:02:10 (S | E)
Bonjour,

Indice:

x et y entiers positifs non nuls donc x>=1 y>=1 soit xy >= x et xy >= y

donc 2xy >= ....

A+

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 05-10-2013 à 19:31:12 (S | E)
Merci beaucoup,
x>=1 et y>=1 ça veut dire xy>=1 ça veut dire 2xy>=2 et x^2>=1 et y^2>=1.
Donc x^2+2xy+y^2>=4 ça veut dire (x+y)^2>=4 ça veut dire (x+y)^2-2^2>=0
ça veut dire que (x+y-2)(x+y+2)>=0.
Et qu'est ce que je dois faire encore

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 05-10-2013 à 19:42:44 (S | E)
Et maintenant voici la suite:
(x+y-2)(x+y+2)>=0
Donc le cas 1) x+y-2=<0 (=) équiavelent x+y=<2 et x+y+2=<0 (=) équivalent x+y=< -2 ( pour cette dernière ça marche pas parce qu'on a x+y>=2 donc on la supprime)
Le cas 2) x+y-2>=0 (=)équivalent x+y>=2 et x+y+2>=0 (=) équiavelent x+y>=-2 ( pour cette dernière, on doit la changer parce que (x;y) appartient à N*^2 donc x+y>=-2 devient x+y>0 ou on peut dire aussi que x+y>=0 les deux sont justes )
* Dans le cas 1) on a x+y=<2 et dans le cas 2) on a x+y>=2 et x+y>=0.
Donc je vais quoi faire après?

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 12:36:39 (S | E)
Bonjour,

c'est bien tu as réfléchi au sujet, là visiblement tu compliques, il faut donc se poser et prendre du recul.

Je te laisse réfléchir sur ce début de solution:

x et y entiers positifs non nuls donc

x>=1 soit xy >= y (1)
y>=1 soit yx >= x ou encore xy >= x (2)

donc en combinant (1) et (2) 2xy >= x + y soit (x+y)/xy <= 2

A+

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 13:05:07 (S | E)
Bonjour, maintenant est ce que la réponse est bonne ?
On a (x+y)/xy <= 2 ( relation 1 )
(x;y) appartient à N*^2 donc x>0 et y>0 ça veut dire x+y>0 et xy>0 donc x+y/xy>0 ( la relation 2)
En combinant (1) et (2)donc:
0 la 2ème question: Non.On a x>=1 et y>=1 donc x+y>=2 et xy>=1 donc x+y/xy >=2 ( la relation a )et on a x+y/xy>0 ( la relation 2).
En combinant (1) et (2)donc: x+y/xy>=2. Donc 0;2] n'est pas inclus dans E.
Est ce que c'est juste ?

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 14:05:17 (S | E)
Pour 2)

Attention xy >= 1 signifie 1/xy <= 1 et donc la suite de ton raisonnement est erronée.

Mais avant toute chose, il faut tester des exemples concrets:

x=3 y=3

6/9 < 1

As-tu vu la notion de fonction continue ?

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 14:19:09 (S | E)
Merci bcp
Dans la question 2), puisque mon raisonnement est erronée. Donc je vais quoi faire?

Réponse: Exercice de tiruxa, postée le 06-10-2013 à 15:37:13 (S | E)
bonjour,

La deuxième question signifie : est ce que tout réel de l'intervalle ]0;2] peut s'écrire sous la forme d'une fraction de la forme (x+y)/(xy) où x et y sont des entiers naturels non nuls ?

On pourrait déjà se poser la question plus générale est ce que tout réel de l'intervalle ]0;2] peut s'écrire sous la forme d'une fraction (c'est à dire est un rationnel) ?

Qu'en pensez vous ? N'auriez vous pas vu un contrexemple en cours ?

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 16:34:48 (S | E)
Donc c'est oui. ça veut dire que ]0;2] est inclus dans E.

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 16:51:18 (S | E)
Oui Tiruxa a raison, le mieux est le contre-exemple:

Que peux-tu faire avec 1/10 par exemple:

il appartient bien à ]0,2] mais peut-on le mettre sous la forme (x+y)/(xy) avec x,y entiers positifs non nuls ?

A+

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 17:05:52 (S | E)
Merci bcp encore
Non parce que si 1/10 = x+y/xy donc x+y=1 et xy=10 donc c'est un système
x=1-y et xy=10 ça veut dire x=1-y et (1-y)y=10
donc -y^2+y-10=0 donc delta= 1^2-4( (-1)*(-10)) = 1-40 = -39 <0 et c'est impossible ça veut dire que le système n'a pas de solution.
Donc ]0;2] n'est pas inclus dans dans E.
Et maintenant, est-ce que c'est juste?

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 17:26:52 (S | E)
C'est mieux mais essaie d'imaginer des réponses simples (penser équations est souvent vite plus complexe):

1/10 est un fraction irréductible:

mettre 1/10 sous la forme (x+y)/(xy) nécessiterait au numérateur x=1 et y=0 ou l'inverse pour avoir x+y = 1 (désolé raisonnement faux voir plus bas explication avec multiple k)

or x et y sont des entiers positifs non nuls.

(désolé: faux, voir plus bas 1/10 = 40/400)

A+

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 17:32:44 (S | E)
1/10=x+y/xy
x=1 et y=0 ou x=0 et y=1.
Pour le cas x=1 et y=0 donc x+y=1 et xy=0 et donc x+y/xy = 1/0 et ça marche pas donc l'équation n'a pas de solution.
Pour le cas x=0 et y=1 c'est la même chose.
On a seulement ces deux cas. Donc 1/10 ne peut pas s'écrire sous forme de x+y/xy.
Est ce que ça suffit ?

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 17:36:00 (S | E)
Désolé je t'ai dit une bêtise:

si on voulait poursuivre ta première argumentation:

1/10 = (x+y) / (xy)

nous donne non pas x+y=1 et xy=10 mais il existe un multiple k tel que x+y = k et xy = 10k

et c'est complexe.

1/10 = 40/400 avec x=20 et y=20

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 18:00:23 (S | E)
Avec 1/3 je pense qu'on tient un contre-exemple intéressant:

est-il possible de mettre 1/3 sous la forme (x+y) / (xy)

donc on veut x+y = 3xy soit x = y (3x-1) (FAUX: 3(x+y) = xy et là ça change tout ...)

donc y = x/(3x-1)

or x/(3x-1) < 1 car 2x > 1 comme y >= 1 par définition, pas de solution donc de couple (x,y) entiers positifs non nuls satisfaisant à 1/3 = (x+y) / (xy).

Faux solution avec 1/3 = 16/48 avec x=12 y =4

Réponse: Exercice de tiruxa, postée le 06-10-2013 à 18:43:20 (S | E)
Bonsoir,

Olivier désolé mais obtient 1/3 avec x= 12 et y = 4, on trouve 16/48 = 1/3

En fait tu as une erreur au début du raisonnement : On a en fait : xy= 3(x+y) .

Quand je parlais de contrexemple je pensais à un nombre irrationnel comme $\sqrt[]{2}$ qui est bien dans l'intervalle ]0;2] mais qui ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Exercice intéressant pour manipulations d'inégalités.
Bonne soirée

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 18:48:35 (S | E)
oui encore faux. Effectivement difficile de présenter une solution simple.

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 06-10-2013 à 19:23:42 (S | E)
$\sqrt{2}$ est bien la solution à laquelle il fallait penser...:
cherchons le couple d'entiers positifs (x,y) tels que (x+y)² = 2 xy
revient à résoudre x²+y²=0 et qui est sans solution vu que x>=1 et y>=1

Réponse: Exercice de inssaf147, postée le 06-10-2013 à 23:43:11 (S | E)
Bonsoir,
Ce que Vous avez faite Olivier Pourquoi (x+y)² = 2 xy. est ce qu'on a (xy)^2=xy ?

Réponse: Exercice de tiruxa, postée le 07-10-2013 à 09:09:51 (S | E)
Bonjour,
En effet, il y a une erreur dans son calcul, mais ce que je disais plus haut c'est que $\sqrt[]{2}$ ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, n'importe quelle forme de fraction donc bien sûr pas sous la forme particulière $\frac{x+y}{xy}$ avec x et y entiers naturels non nuls.
C'est le cas de tous les irrationnels, on aurait pu prendre $\sqrt[]{3}$ ou aussi ∏ - 2, le tout c'est que l'on soit dans l'intervalle ]0;2].

Réponse: Exercice de wab51, postée le 07-10-2013 à 13:16:54 (S | E)
Bonjour à tous :
$E=\left( \right)( \frac{x+y}{2xy}$ , avec $(x,y)$ $\in$ $N*$ $^{2}$ $)$ $\Leftrightarrow$ $E=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ , avec $(x,y)$ $\in$ $N*$ $^{2}$ $)$ .
1)Démontrer que $E$ contenu dans $]0,2]$ ?
$x$ $\in$ $N*$ $\Rightarrow$ $x\geq1$ $\Rightarrow$ $0\prec\frac{1}{x}\leq1$    (relation 1)
$y$ $\in$ $N*$ $\Rightarrow$ $y\geq1$ $\Rightarrow$ $0\prec\frac{1}{y}\leq1$ (relation 2)
Des relations (1) et (2) ,on en déduit $\forall$ $(x,y)$ $\in$ $N*$ $^{2}$ , $0\prec\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq2$    $\Leftrightarrow$ $0\prec\frac{x+y}{xy}\leq2\blue$ autrement dit $\forall$ $(x,y)$ $\in$ $N*$ $^{2}$ , $E=\frac{x+y}{xy}\blue$ contenu dans $]0,2]\blue$ .
2)Est-ce que $]0,2]$ est contenu dans $E$ ?(démonstration )
Comme l'avais déjà dit tiruxa et olivier (que je salue à travers ce message),il faut trouver un contre exemple ,en choisissant un nombre irrationnel par exemple $\sqrt[]{2}$ .
Soit $\sqrt[]{2}$ $\in$ $]0,2]$ ,on peut écrire $\left( \right) \frac{x+y}{2xy}=\sqrt[]{2}$ $\Leftrightarrow$ $\left( \right) \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\sqrt[]{2}\times$ $\blue\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}$    $\Leftrightarrow$ $\left( \right) \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{\sqrt[]{2}}$ $\Leftrightarrow$ $\left( \right) \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$ $\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{\sqrt[]{2}}\blue$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ x=\sqrt[]{2}\\ y=\sqrt[]{2}\red$ ( contraire à l'hypothèse
$E=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ , avec $(x,y)\blue$ $\in\blue$ $N*\blue$ $^{2}\blue$ $)\blue$ .Conclusion : $]0,2]$ n'est pas contenu dans $E$ . Merci et bonne journée à tous .

Réponse: Exercice de tiruxa, postée le 07-10-2013 à 15:04:25 (S | E)
Bonjour Wab51,

Rien à dire pour la première partie (sauf qu'un 2 est en trop au dénominateur dans la définition de E). C'est en effet plus rapide et plus élégant ainsi.
Par contre, pour la deuxième question, je ne vois pas l'intérêt de démontrer que $\sqrt[]{2}$ qui est irrationnel ne peut pas être égal à $\frac{x+y}{xy}$ qui est rationnel ! C'est un résultat de cours.
En ce qui concerne la démonstration que tu donnes l'équivalence de la fin me pose problème.
Pourquoi si $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}$ aurait on nécessairement x=a et y=a ?
Voici un contrexemple : $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$ .
Ok avec a = $\sqrt[]{2}$ on ne peut pas en trouver mais cela provient de l'irrationnalité de $\sqrt[]{2}$ comme je le disait plus haut.
Bonne journée

Réponse: Exercice de wab51, postée le 07-10-2013 à 16:44:40 (S | E)
Salut tiruxa :
1)Pour le"2 en trop dans le dénominateur de E" ,désolé!c'est une erreur de frappe de ma part mais tu peux bien le constater , qu'en aucune étape du processus de raisonnement cette erreur n'a été nullement introduite pour affecter l'un quelconque des résultats et par conséquent il n'y a pas d'erreur surtout et en plus ,et dès le départ le raisonnement fut basé sur l'hypothèse que $E=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\blue$ qui est identique à $E=\frac{x+y}{xy}\blue$ et non pas $E=\frac{x+y}{2xy\red}$ .
2) Parfaitement d'accord avec toi "que $\sqrt[]{2}$ qui est irrationnel ne peut etre égal $\frac{x+y}{xy}$ qui est rationnel " .C'est une question de cours et cela va de soi .D'ailleurs ,tu l'as bien signalé et montré dans ton prédent message .En fait et à mon avis ,ce n'est pas une démonstration que j'ai faite mais une mise en évidence si j'ose dire et que cela ne changerai rien au résultat .
3)Pour la logique et la rigueur mathématique ,je suis entièrement d'accord avec toi que le symbole d'équivalence ne doit pas exister ,alors que je devrais normalement écrire : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$ $\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{\sqrt[]{2}}\blue$ et dire que l'une des solutions de cette équation est le couple $\left(x=\sqrt[]{2},y=\sqrt[]{2} \right)\blue$ et par conséquent dans l'ensemble des valeurs de l'intervalle ]0,2],il existe au moins un nombre irrationnel pour lequel $E=\frac{x+y}{xy}$ n'est pas rationnel et par conséquent l'ensemble $]0,2]$ n'est pas inclu dans $E$ .
Merci .

Réponse: Exercice de olivier2013, postée le 07-10-2013 à 18:53:48 (S | E)
Bonsoir à tous,

Oui en effet désolé encore une erreur de ma part. Vraiment dommage que la question 2 n'ait pas une résolution plus simple.

La question 1 partait bien mais ensuite l'esthétisme tombe à plat.

A+

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