Fonction et tableau de variation

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Fonction et tableau de variation
Message de spongebob33 posté le 05-10-2013 à 14:58:52 (S | E | F)
Bonjour, j'ai quelques difficultés pour un excercice

j'ai f(x)= x + 1 + ln((x+2)/(x+1))

j'ai calculé f'(x)= 1 - 1/(x^2 + 3x + 2)

pour l'ensemble de définition:
la fonction ln est définie sur ]0;+oo[
on a x+20 et x+10 donc x -1 et -2
et x+1 est définir sur
donc pour l'ensemble de définition de la fonction f, Df = ]-oo;-2[]-1;+oo[

ensuite pour le calcul des limtes aux bornes:

j'ai calculé lim f(x) en -oo = -oo
lim f(x) en +oo = +oo

je n'arrive pas par contre à calculer les limites en -2 et -1 (je tombe sur des formes indéterminées)

Normalement, je vais en avoir besoin pour trouver les asymptotes de f.

lorsque je verife la courbe avec la calculatrice, je vois quel chute avant d'arrive en -2 et qu'en -1 elle chute et repart croissante
Du coup j'ai du mal à dresser mon tableau de variation.

merci

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 05-10-2013 à 15:45:11 (S | E)
Bonjour spongebob
1)Df (exact)
2)les limites de f quand x tend vers +0o ou vers -0o (exacts)
3)la fonction dérivée f' telle que f'(x)= 1 - 1/(x^2 + 3x + 2) (exacte mais vaut mieux laisser le dénominateur sous forme de produit des deux facteurs (x+2)(x+1)d'une part et d'autre part réécrire f'(x) sous forme d'un quotient ?

4)Il n'y a de forme indéterminée ni quand x tend vers -2 par valeurs inférieures (valeurs négatives),ni quand x tend vers -1 par valeurs supérieures (valeurs positives).
a)A quoi tend (x+2)/(x+1)quand x tend -2 (v.négat.)? A quoi tend alors ln((x+2)/(x+1))quand x tend -2 (v.négat.)?
b)Memes questions quand x tend -1 (par v. positives)?
Bonne continuation et bon courage .

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 15:52:36 (S | E)
j'ai posé f(x)= x + 1 + ln((x+2)/(x+1)) dans ma calculatrice
j'ai utilisé -2,00001 pour -2 et -0.99999 pour -1 et ça m
lim f(x) = -12,51 et lim f(x) = 11,81
quand x tend vers -2 quand x tend vers -1

ces valeurs me sembles bizarres

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 15:54:52 (S | E)
Je crois voir mon erreur,
J'ai pas applique le bon raisonnement. Il faut d'abord que je calcul les limites de (x+2)/(x+1) puis de ln((x+2)/(x+1)) comme tu la ecris dans mon message. Je vais faire le calcul. Merci

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 16:04:14 (S | E)
j'ai donc d'abord calculé

lim (x+2)/(x+1) = 1 negatif lim ln((x+2)/(x+1)) = 0 lim f(x) = -1
x -> -2 x -> -2 x -> -2

lim (x+2)/(x+1) = 1 positif lim ln((x+2)/(x+1)) = 0 lim f(x) = 0
x -> -1 x -> -1 x -> -1

donc j'ai deux asymptotes horizontales d'equations x=-2 et x=-1 ?

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 05-10-2013 à 16:09:04 (S | E)
Tu n'as pas à faire avec la calculatrice pour déterminer les limites .Il faut une démonstration .
$\lim_{x\leftarrow-2-}\frac{x+2}{x+1}=\frac{0-}{-1}=0+$ donc $\lim_{x\rightarrow-2-}ln\frac{x+2}{x+1} = ...$ ? (à toi de compléter) d'ou $\lim_{x\rightarrow-2-}f(x) = ...$ ?
Applique le meme raisonnement quand $x\rightarrow-1+$ . A toi de jouer !

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 16:37:08 (S | E)
Lim (x+2)/(x+1) = -0/-1 = 0+ Lim ln(x+2)/(x+1) = 0+ Lim f(x)= -1
x -> -2 x -> -2 x -> -2

Lim (x+2)/(x+1) = 1/0 = 0 Lim ln(x+2)/(x+1) = 0 Lim f(x)= 0
x -> -1 x -> -1 x -> -1

J'ai le droit d'ecrire: Lim (x+2)/(x+1) = -0/-1 = 0+ et Lim (x+2)/(x+1) = 1/0 = 0
x -> -2 x-> -1

J'ai une fraction avec un zero ?

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 05-10-2013 à 17:10:06 (S | E)
Non ,c'est faux !Et quand on écrit quelque chose ,il faut qu'elle soit conforme à la logique et aux règles .
Enfin ,j'avais presque tout dit avant.Là ,il faut simplement faire appel à une propriété du cours : $\lim_{x\rightarrow0+}lnx=-\infty$ .c'est à dire que la fonction ln tend vers $-\infty$ quand x tend vers $0^{+}$ .et si tu appliquais cette propriété alors tu auras $\lim_{x\rightarrow-2-}ln\frac{x+2}{x+1} = \lim_{x\rightarrow-2-}ln0+=\blue-\infty$ .

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 17:21:56 (S | E)
dans ton raisonnement tu arrives a
lim ln (+0) = -oo
x -> -2

tu as quand même posé

Lim (x+2)/(x+1) = -0/-1
x -> -2

et après tu utilises la propriété
lim ln(x) = -oo
x -> +0

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 05-10-2013 à 18:07:44 (S | E)
je viens de comprendre le raisonnement. Merci beaucoup.

Lim f(x) = -oo
x -> -2

Lim f(x) = -oo
x -> -1

donc on peut en deduire qu'il y a 2 asymptotes verticales d'équation x= -2 et x= -1
et une asymptote oblique d'equation y= x + 1

pour l'asymptote oblique :
lim ( f(x) - (ax +b))= x + 1 + ln((x+2)/(x+1)) - (x + 1) = O
x -> =oo

donc vu que

Lim f(x) = +oo
x -> +oo

et

Lim ln((x+2)/(x+1)) = 0
x -> +oo

et

lim (x + 1)
x -> +oo

le tableau de variation:

X -oo -2 -1 +oo
________________________________________________

F' + +
________________________________________________
F ↗ ∣∣ ∣∣ ↗

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 05-10-2013 à 20:46:33 (S | E)

$\lim_{x\rightarrow-2-}f(x) = -\infty$ (exact)
$\lim_{x\rightarrow-1+}=-\infty\red$ (faux )
Les asymptotes $: (x=-2 ; x=-1 ; y=x+1)$ (exact)
Tableau de variation (faux ) a) Pour étudier le sens de variation de f dans $D_{f}$ écris f'(x) sous cette forme $f'(x)=\frac{...}{(x+2)(x+1)}\red$ (voir mon 1er message)
b)Manque d'autres valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0\red$ ? Bon courage

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 06-10-2013 à 10:27:26 (S | E)
Bonjour spongebob :Tu as presque fini .Je te résume les deux questions qui te restent à faire pour dresser finalement le tableau de variation de $f$ .
1) Détermine $\lim_{x\rightarrow-1+}f(x)=?\red$ ( je te propose de faire un changement de variable en posant $x+1=\frac{1}{X}\blue$ sachant que lorsque $x\rightarrow-1+\blue$ alors $X\rightarrow+\infty\blue$ par conséquent chercher $\lim_{x\rightarrow-1+}f(x)=?\red$ revient simplement à chercher $\lim_{X\rightarrow+\infty}f(X)\blue$ car $\lim_{x\rightarrow-1+}f(x)\red$ $=\lim_{X\rightarrow+\infty}f(X)\blue$ .
2)Calcul la dérivée $f'(x)=?\red$ puis étudie son signe sur l'intervalle de définition $D_{f}=]-\infty,-2[U]-1,+\infty[$ ? .Bon courage

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 06-10-2013 à 12:04:14 (S | E)
merci beaucoup. Je mis met de suite et je te donne mes resultats dans un moment

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 06-10-2013 à 13:04:37 (S | E)
donc pour

Lim f(x) = +oo
x -> -1

et

f'(x)= ((x+2)(x+1)-1)/((x+2)(x+1))

pour calculer les valeurs de f'(x)=0
j'ai fait

f'(x)=((x^2 + 3x + 2)-1)/(x^2 + 3x + 2)

j'ai calculé ((x^2 + 3x + 2)-1)=0 -> delta b^2 -4AC = 1 donc on a

x1= (-b-(√delta))/2ac = (-3-√5)/2 et x2=(-b+(√delta))/2ac = (-3+√5)/2

(x+2)(x+1)=0 donc x1= -2 et x2= -1
donc f'(x)=0 à 4 solutions : (-3-√5)/2 -2 -1 (-3+√5)/2

pour le tableau de variation (dsl j'arrive pas à l'éditer correctement)

X -oo (-3-√5)/2 -2 -1 (-3+√5)/2 +oo
____________________________________________________________________________________________

f' + 0 - 0 - 0 +
____________________________________________________________________________________________

f ↗ ↘ ∣∣ ∣∣ ↘ ↗

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 06-10-2013 à 13:44:22 (S | E)
(x^2 + 3x + 2)-1 = x^2 + 3x + 1

là j'ai calculer delta = 5

ce qui ma donné (-3-√5)/2 et (-3+√5)/2

C'est juste normalement ?

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 06-10-2013 à 14:09:18 (S | E)
Bravo et encore bravo! -Félicitations - Bien fait et bien compris- .Excellente réussite pour le bacc .
Très bon dimanche .

Réponse: Fonction et tableau de variation de spongebob33, postée le 06-10-2013 à 14:10:51 (S | E)
merci du soutien.
Ca aide énormement

Réponse: Fonction et tableau de variation de wab51, postée le 06-10-2013 à 16:59:54 (S | E)
Enfin ,voilà un petit supplément sous forme d'interprétation graphique des résultats algébriques que tu avais trouvés . Je suis content de toi et bravo .

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