Calcul sur les suites
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de spongebob33 posté le 03-10-2013 à 14:39:31 (S | E | F)
Bonjour. J'ai un exercice sur les suite et je suis bloqué
J'ai (Un) definie par U0=2 et Un+1= (3Un - 2)/(2Un - 1)
j'ai calcué U1,U2,U3 Ce qui m'a donné 4/3 6/5 8/7
C'est la suite qui me pose un problème. On me demande de déterminer B(Un) pour pouvoir ecrire Un+1= 1 + B(Un)
Puis on me donne une autre suite Vn définié par Vn+1= 1/(Un+1 - 1) et on me demande d'écrire (Vn) et (Un) en fonction de n
Quelle est la marche à suivre?
Merci d'avance
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 17:06:46 (S | E)
Bonjour spongebob:1) Le résultat des trois premiers termes successifs sont exacts .
2)Exprime en fonction
à partir de la relation donnée?
3)Exprime en fonction de
? A partir de cette dernière relation ,calcule les trois premiers termes successifs
par exemple mais sans développer les calculs .Quelle remarque peux tu faire et quel résultat peux-tu déduire pour généraliser ce résultat au terme de
en l'exprimant en fonction de
et de
Fais ce travail et je pense que tu arriveras à faire le reste (c'est beaucoup plus facile) .Bon courage
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 17:14:28 (S | E)
j'ai calculé Un+1 = ((Un - 1)+(2Un - 1))/(2Un - 1)
j'ai recalculé U1 U2 et U3 et ca fonctionne
Je ne vois pas par contre pour la suite.
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 17:34:06 (S | E)
Un+1 = ((Un - 1)+(2Un - 1))/(2Un - 1) (faux - tu as du te tromper -refais les calculs).Si ce résultat n'est pas trouvé il est impossible de faire la suite .Tout en dépend de cette relation?
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 17:54:29 (S | E)
Pourtant quand je remplace Un par Uo=2 je trouve le bon resultat. Pareil pour U1 U2 et U3
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 18:25:46 (S | E)
Ah!oui ,d'accord !je vois mais ce n'est pas la forme la plus simplifier et la plus réduite.Alors fais le?
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 18:30:34 (S | E)
si je réduit au maximum, j'arrive à 1 + (Un - 1)/(2Un - 1)
après j'ai calculé Vn+1, ce qui m'a donné Vn+1 = (2Un - 1)/(Un - 1)
j'ai calculé ensuite V1= 3 V2= 5/2 (=2,5) V3= 8/3 (=2,67)
Il me reste à exprimer (Vn) et (Un) en fonction de n mais je bloque
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 18:44:15 (S | E)
Mais ,on te demande pas Un+1 mais B(Un)en fonction de Un comme je te l'avais bien dit .
B(Un)=Un+1 -1 (remplace Un+1 )et donne B(Un) en fonction de Un et sous sa forme la plus réduite ?
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 18:57:17 (S | E)
B(Un)= (Un - 1)/(2Un - 1).
Mais je dois ecrire Un+1= 1 + B(Un) = ((Un - 1)+(2Un - 1))/(2Un - 1) car j'ai après
Vn+1= 1/(Un+1 - 1) ce qui me donne Vn+1 = (2un - 1)/(Un+1)
puis je calcule V1 V2 V3 avec U0 U1 et U2, ce qui me donne V1=3 V2=5 et V3=7
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 19:51:50 (S | E)
Je ne vois pas comment exprimer Un en fonction de Un+1
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 20:28:04 (S | E)
D'accord pour .Il faut suivre l'ordre des questions et en portant dans
on aura :
( c'est ce que j'avais dit avant)
et ainsi de suite ... donc comment s'écrira le terme .? Puis déduire
en fonction de
?
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 20:41:26 (S | E)
Là ou je bloque dans ton raisonnement c'est quand tu ecris
U0= 2 = 1 + 1/1
comment tu passes de Un+1= 1 + (Un - 1)/(2Un - 1) à U0 ?
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 20:48:52 (S | E)
est donné et de plus on ne connait pas la nature de la suite :elle n'est ni arithmétique ,ni géométrique . O.k.!
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 21:21:57 (S | E)
Si j'ai compris tu utilises la formule
On peut déterminer si Un est arithmétique ou geometrique ?
U0= 2 = 1 + 1/1 comment tu expliques 1 + 1/1
Bien que tes explications son claires, je n'arrive pas a comprendre le résonnement et la finalité.
Peux tu mettre ton raisonnement en entier étape par étape parceque la j'arrive plus à rien. Je suis complètement perdu.
JE suis decu depuis 14h et j'y arrive pas du tout
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 03-10-2013 à 22:10:51 (S | E)
Voilà ,je résume étape par étape le raisonnement et les résultats que tu as trouvé juste .
1)Calcul de U1,U2,U3 à partir de Uo=2 (donné) et la relation donnée pour pouvoir leurs valeurs respectives :Un+1=(3Un -2)/(2Un -1)
(fait et pas de problème)
2)Déterminer B(Un)tel que Un+1 =1 + B(Un):
(fait et trouvé)
3)Ecrire Un et Vn en fonction de n :
Là ,il faut penser à trouver une autre forme d'écriture de Un+1 en fonction de n et le seul moyen est d'utiliser la forme trouvée de
B(Un).C'est ce qui nous a ramené à trouver la nouvelle forme de Un+1=1+(Un - 1)/ (2Un -1) (fonction de Un) .
Maintenant comment s'écriront sous la nouvelle forme les termes U0,U1,U2,U3,...,Un de la 1ére question avec Uo=2 ,U1=4/3,U2=6/5,U3=8/7
Là ,on remarque que
Uo=2=1+1/1 ; U1=4/3=1+1/3 ; U2=6/5=1+1/5 ;U3=1+1/7 ;...;Un=1+1/(2n+1)(le dénominateur de chaque fraction est une suite d'entiers impairs )
Ainsi on a trouvé Un en fonction de n et Un=1 + 1/(2n+1) et pour trouver Vn en fonction de n ,ce n'est qu'une déduction à partir de Un car on sait que Vn+1=1/(Un+1 -1) et par conséquent Vn=1/(Un - 1).Il suffit donc de remplacer Un en fonction de n et trouver facilement que Vn=2n+1 .
Je te comprends :tu as passé beaucoup de temps mais je te félicite pour ta pertinence ,ta passion de bien comprendre .
Toutes mes félicitations
et 
aussi pour tout ce courage .Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 03-10-2013 à 22:31:15 (S | E)
Je te remercie infinie pour ton explication.
Je vais pouvoir l'etudier et prendre tout le temps de la comprendre.
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 04-10-2013 à 07:00:11 (S | E)
Bonjour spongebob :
et à partir de cette forme juste et exacte de
en fonction de
qu'on a pu aboutir à obtenir à exprimer le terme
en fonction de
et trouver que
en remarquant que
;
;
;
;... ;
;...Mon erreur est d'avoir généralisé pour tout
entier mais sans le démontrer meme si cela parait juste .Par conséquent on ne peut pas admettre un résultat meme s'il est juste sans démonstration .
Je te demande de bien vouloir m'excuser de cette erreur et je t'invite à prendre en considération cette méthode juste et exacte :
Donc ,comment exprimer et
en fonction de
?
Il faut démontrer que la suite est une suite arithmétique pour tout n entier natuel ? Pour cela ,il suffit de calculer
?
et on trouve pour tout entier
,autrement dit que la suite
est bien une suite arithmétique de raison q=2 et dont le terme général est
( calcul de
,calculé à partir de la donnée
avec
et
) .Et en portant
dans
on obtient facilement que
. Voilà ,j'espère avoir répondu à la question avec cette dernière méthode plus mathématique et lus rigoureuse . Merci
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 04-10-2013 à 09:28:34 (S | E)
merci pour ton explication qui m'a permi de comprendre la finalité de l'exercice.
Il y a juste une étape que je n'arrive pas à faire, c'est Vn+1 - Vn. Je comprend qu'on doit trouver un reel
Vn+1 - Vn = 1/(Un+1 -1) - 1/(Un - 1) = 2
Peux tu le développer ?
C'est ce calcul qui m'a bloqué hier.
Réponse: Calcul sur les suites de spongebob33, postée le 04-10-2013 à 10:17:08 (S | E)
C'est bon je viens de resoudre ce calcul.
Juste par contre pour le calcul de Un = (1 + Vn)/Vn = (1 + 1 + 2n)/(1+2n) = (2+2n)/(1+2n)
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 04-10-2013 à 10:24:55 (S | E)
Vraiment ,je suis content et surtout que tu aies bien compris .
Vn+1 - Vn =1/(Un+1 -1) - 1/(Un - 1)
Vn+1 - Vn = [1/(3Un -2)/(2Un -1) -1] - 1/(Un -1) (remplace Un+1 par son expression donnée en fonction de Un)
Après réduction au meme dénominateur on arrive à :
Vn+1 - Vn = (2Un - 1)/(3Un -2 -2Un +1) -1/(Un -1)
Vn+1 - Vn = (2Un -1)/(Un -1) - 1/(Un -1)
Vn+1 - Vn = (2Un -2)/Un -1) = 2(Un -1)/(Un -1) =2 .
Réponse: Calcul sur les suites de wab51, postée le 04-10-2013 à 13:38:48 (S | E)
Ton résultat de est parfaitement exact .
J'ai quand meme une question importante .Tu n'as pas montré :Comment as tu fait pour trouver ,le premier terme de la suite
?
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