Une petite aide svp
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Message de lahcen2012 posté le 30-09-2013 à 13:53:54 (S | E | F)
Bonjour,
On nous demande de faire 10 exercices comme devoirs à la maison. 2 exercices étaient très difficiles. Pourriez-vous m'aider à comprendre ces 2 exercices ? et merci!
1 Exercice:
Montrer que la racine de n/n+1 n'appartient pas à Q et que:n :appartient à N*
2 Exercice:
Montrer que ce système n'a pas de solution:
x2+xy+y2=x
y3+y2=2
Etudiez ces trois cas: y est grand que 1, 1 est grand que 1 et y=1
Message de lahcen2012 posté le 30-09-2013 à 13:53:54 (S | E | F)
Bonjour,
On nous demande de faire 10 exercices comme devoirs à la maison. 2 exercices étaient très difficiles. Pourriez-vous m'aider à comprendre ces 2 exercices ? et merci!
1 Exercice:
Montrer que la racine de n/n+1 n'appartient pas à Q et que:n :appartient à N*
2 Exercice:
Montrer que ce système n'a pas de solution:
x2+xy+y2=x
y3+y2=2
Etudiez ces trois cas: y est grand que 1, 1 est grand que 1 et y=1
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 30-09-2013 à 14:49:30 (S | E)
Bonjour,
Pour le premier je pense que le mieux est de raisonner par l'absurde.
Supposer que
avec fraction irréductible, p et q entiers naturels, p non nul car par hypothèse n est non nul.
Ensuite elever au carré et par un raisonnement démontrer que p=0 et q=1 ce qui contredit l'hypothèse.
-------------------
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 30-09-2013 à 14:58:59 (S | E)
Pour le 2 cela me semble plus simple,
Cas où y > 1, que peut on dire de y^3 + y ^2 ? cela permet de conclure rapidement à une impossibilité.
De même pour le cas où y <1
Enfin dans le cas où y = 1, remplacer y dans les deux équation, l'une d'elle est impossible.
Conclure
Remarque ce type de raisonnement s'appelle un raisonnement par disjonction des cas.
Bon courage, n'hésitez pas à donner vos raisonnements détaillés, car j'ai juste donné le schéma.
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 30-09-2013 à 18:07:11 (S | E)
Merci beaucoup pour vos aides.
Voici ma réponse:
Exercice2:
Dans le cas où y > 1: Par exemple, si y=2 2^3+2^2=8+4=12 et n'égale pas 2. Donc, dans ce cas le système n'a pas de solution.
Dans le cas où y = 1: Si on remplace y=1 dans x2+xy+y2=x, on obtient x2+x+1=x ça veut dire x2=-1 et c'est impossible car le carré est toujours positif. Donc, dans ce cas le système n'a pas de solution.
Dans le cas où y <1: Par exemple, si y=-1 (-1)^3+(-1)^2=-1+1=0 et n'égale pas 2. Donc, le système n'a pas de solution dans ce cas.
Est ce que c'est juste maintenant ?
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 30-09-2013 à 18:42:31 (S | E)
Bon c'est juste pour y=1. On suppose quand même que la résolution s'effectue dans l'ensemble des réels, dans cet ensemble en effet un réel n'est jamais égal à -1.
Par contre pour les deux autres cas, il ne suffit pas de le vérifier pour un exemple mais il faut traiter le cas général.
C'est à dire que y est un réel quelconque strictement supérieur à 1,
on a donc y^2 > 1^2 car la fonction "carrée" est strictement croissante sur R+
ainsi de suite... c'est en gros de la manipulation d'inégalités, il faut connaître les règles... celles qui servent pour les recherches d'encadrement par exemple.
Bon courage
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 30-09-2013 à 18:56:24 (S | E)
Et maintenant, est-ce que la réponse est parfaite ?
Dans le cas où y > 1 alors y^2>1. Donc, dans ce cas le système n'a pas de solution car la fonction "carrée" est strictement croissante sur R+.
Dans le cas où y = 1: Si on remplace y=1 dans x2+xy+y2=x, on obtient x2+x+1=x ça veut dire x2=-1 et c'est impossible car le carré est toujours positif. Donc, dans ce cas le système n'a pas de solution.
Dans le cas où y <1 alors y^2<1 Donc, le système n'a pas de solution dans ce cas car la fonction "carrée" se diminue sur R-.
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 30-09-2013 à 19:51:47 (S | E)
Désolé mais je n'avais donné que le début du raisonnement il faut ensuite s'occuper de y^3 et enfin de y^2 + y^3 pour se poser la question ce nombre là peut-il valoir 2 ?
Allez ce n'est pas si long à rédiger
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 30-09-2013 à 19:58:50 (S | E)
Malheureusement, je n'ai pas bien compris. Pourriez-vous m'expliquer encore? et merci
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 30-09-2013 à 21:18:01 (S | E)
Bonsoir, Voici ma réponse :
Dans le cas y>1. Donc y^2>1 et y^3>1 ça veut dire y^2+y^3>2. Donc y^2+y^3 n'égale pas 2.
Dans le cas y<1. Donc y^2<1 et y^3<1 ça veut dire y^2+y^3<2. Donc y^2+y^3 n'égale pas 2.
Dans le cas y=1. On remplace y=1 dans l'équation: y^2+y^3=2 on trouve: 0=2 et c'est impossible.
Enfin, le système n'a pas de solution dans ces trois cas.
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 30-09-2013 à 21:21:30 (S | E)
Et pour le premier exercice. J'ai beau essayer de démontrer que p=0 et q=1 sans succès. Pourriez-vous m'expliquer encore ? et merci d'avance !
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 01-10-2013 à 00:15:46 (S | E)
Très bien, bravo les deux premiers cas
mais pour le cas y = 1 c'est la première équation qui donne une impossibilité : x^2 = -1,
vous l'aviez dit vous même dans un précédent message.
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 01-10-2013 à 00:26:37 (S | E)
Pour le 1, en élevant au carré on obtient :
Or ce sont deux fractions égales et irréductibles, car on sait que est irréductible, donc
l'est. De plus on montre facilement que
est aussi irréductible.
Donc les numérateurs sont égaux et les dénominateurs aussi.
On a n= et n+1 =
, déduisez en une relation entre entre p et q qui devrez vous permettre de conclure.
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 01-10-2013 à 11:47:11 (S | E)
Merci beaucoup;
Voici la réponse:
On suposse que le racine de n/n+1 appartient à Q.
le racine de n/n+1 appartient à Q (=) Il existe (p,q) qui appartient à N*N* avec le racine de n/n+1 égale p/q avec p/q est irréductible.
(=) équivalent que p^2/q^2=n/n+1. p/q est irréductible donc p^2/q^2 est aussi irréductible et puisque p^2/q^2=n/n+1 donc n/n+1 est irréductible.
(=) équivalent n=p^2 et n+1=q^2
(=) équivalent que p^2= q^2-1 ( la relation entre q et p ).
Et après je vais quoi faire pour démontrer que p=0 et q=1 ? et merci
Réponse: Une petite aide svp de tiruxa, postée le 01-10-2013 à 14:36:52 (S | E)
Bon jusque là ça va.
Ne pas oublier que p et q sont des entiers naturels.
La relation est juste, il suffit de l'écrire : q² - p² = 1
puis de factoriser le premier membre, on obtient alors deux diviseurs de 1 dans N.
Or dans N, 1 a un seul diviseur qui est 1 cela permet de dire que ces facteurs valent 1 puis de conclure.
Réponse: Une petite aide svp de lahcen2012, postée le 02-10-2013 à 17:48:53 (S | E)
Ah oui,
Voici la suite,
On a q² - p² = 1
donc (q-p)(q+p)=1
ça veut dire que 1 divise q-p et 1 divise q-p
Et puisque 1 a un seul diviseur dans N qui est 1
Donc q-p=1 et q+p=1
ça veut dire q=p+1et p+1+p=1
ça veut dire q=1 et p=0.
Donc ça contredit l'hypothèse et donc la racine de n/n+1 n'appartient pas à Q.
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